基於VC++的OpenGL編程講座之曲線和曲面

　　計算機圖形學中，所有的光滑曲線、曲面都采用線段或三角形逼近來模擬，但為了精確地表現曲線，通常需要成千上萬個線段或三角形來逼近，這種方法對於計算機的硬件資源有相當高的要求。然而，許多有用的曲線、曲面在數學上只需要用少數幾個參數（如控制點等）來描述。這種方法所需要的存儲空間比線段、三角形逼近的方法來所需要的空間要小得多，並且控制點方法描述的曲線、曲面比線段、三角形逼近的曲線、曲面更精確。
　　 為了說明如何在OpenGL中繪制復雜曲線和曲面，我們對上述兩類比方法都進行了介紹。下面我們先來介紹有關基礎知識，然後再看是如何實現的吧。
　　
　　 　　 一、曲線的繪制
　　
　　 　　OpenGL通過一種求值器的機制來產生曲線和曲面，該機制非常靈活，可以生成任意角度的多項式曲線，並可以將其他類型的多邊形曲線和曲面轉換成貝塞爾曲線和曲面。這些求值器能在任何度的曲線及曲面上計算指定數目的點。隨後，OpenGL利用曲線和曲面上的點生成標准OpenGL圖元，例如與曲線或曲面近似的線段和多邊形。由於可讓OpenGL計算在曲線上所需的任意數量的點，因此可以達到應用所需的精度。
　　 對於曲線，OpenGL中使用glMap1*（）函數來創建一維求值器，該函數原型為：
　　
　　 void glMap1{fd}(GLenum target,TYPE u1,TYPE u2,
　　 GLint stride, GLint order,const TYPE *points);
　　 　　函數的第一個參數target指出控制頂點的意義以及在參數points中需要提供多少值，具體值見表一所示。參數points指針可以指向控制點集、RGBA顏色值或紋理坐標串等。例如若target是GL_MAP1_COLOR_4，則就能在RGBA四維空間中生成一條帶有顏色信息的曲線，這在數據場可視化中應用極廣。參數u1和u2，指明變量U的范圍，U一般從0變化到1。參數stride是跨度，表示在每塊存儲區內浮點數或雙精度數的個數，即兩個控制點間的偏移量，比如上例中的控制點集ctrpoint[4][3]的跨度就為3，即單個控制點的坐標元素個數。函數參數order是次數加 1，叫階數，與控制點數一致。
　　
　　 參數 意義 GL_MAP1_VERTEX_3 x,y,z頂點坐標 GL_MAP1_VERTEX_4 x,y,z,w 頂點坐標 GL_MAP1_INDEX 顏色表 GL_MAP1_COLOR_4 R,G,B,A GL_MAP1_NORMAL 法向量 GL_MAP1_TEXTURE_COORD_1 s　紋理坐標 GL_MAP1_TEXTURE_COORD_2 s,t　紋理坐標 GL_MAP1_TEXTURE_COORD_3 s,t,r　紋理坐標 GL_MAP1_TEXTURE_COORD_4 s,t,r,q　紋理坐標 　　表一、參數target的取值表
　　
　　 　　使用求值器定義曲線後，必須要啟動求值器，才能進行下一步的繪制工作。啟動函數仍是glEnable()，其中參數與glMap1*()的第一個參數一致。同樣，關閉函數為glDisable()，參數也一樣。
　　
　　 　　一旦啟動一個或多個求值器，我們就可以構造近似曲線了。最簡單的方法是通過調用計算坐標函數glEvalcoord1*()替換所有對函數glVertex*()的調用。與glVertex*()使用二維、三維和四維坐標不同，glEvalcoord1*()將u值傳給所有已啟動的求值器，然後由這些已啟動的求值器生成坐標、法向量、顏色或紋理坐標。OpenGL曲線坐標計算的函數形式如下：
　　
　　 void glEvalCoord1{fd}[v](TYPE u);
　　 　　該函數產生曲線坐標值並繪制。參數u是定義域內的值，這個函數調用一次只產生一個坐標。在使用glEvalCoord1*()計算坐標，因為u可取定義域內的任意值，所以由此計算出的坐標值也是任意的。
　　
　　 　　使用glEvalCoord1*()函數的優點是，可以對U使用任意值，然而，假如想對u使用N個不同的值，就必須對glEvalCoord1*()函數執行N次調用，為此，OpenGL提供了等間隔值取值法，即先調用glMapGrid1*()定義一個間隔相等的一維網格，然後再用glEvalMesh1()通過一次函數執行，將求值器應用在網格上，計算相應的坐標值。下面具體解釋這兩個函數：
　　
　　 　　1、void glMapGrid1{fd}(GLint n,TYPE u1,TYPE u2);
　　
　　 　　定義一個網格，從u1到u2分為n步，它們是等間隔的。實際上，這個函數定義的是參數空間網格。
　　
　　 　　2、void glEvalMesh1(GLenum mode,GLint p1,GLint p2);
　　
　　 　　計算並繪制坐標點。參數mode可以是GL_POINT或GL_LINE，即沿曲線繪制點或沿曲線繪制相連的線段。這個函數的調用效果同在p1和p2之間的每一步給出一個glEvalCoord1()的效果一樣。從編程角度來說，除了當i=0或i=n，它准確以u1或u2作為參數調用glEvalCoord1()之外，它等價於一下代碼：
　　
　　 glBegin(GL_POINT);　/* glBegin(GL_LINE_STRIP); */
　　 　　 for(i=p1;i <=p2;i++)
　　 　　 glEvalCoord1(u1+i*(u2-u1)/n);
　　 　　 glEnd();
　　 　　為了進一步說明OpenGL中曲線的繪制方法。下面我們來看一個簡單的例子，這是用四個控制頂點來畫一條三次Bezier曲線。程序如下（注：這是本講座中提供的第一個完整的OpenGL實例代碼，假如讀者朋友對整個程序結構有些迷惑的話，也不要緊，慢慢地往下看，先有一個感官上的印象，主要是把握如何實現曲線繪制這一部分。關於OpenGL的程序整體結構實現，筆者將在第五講中專門闡述）：
　　
　　 #include "glos.h"
　　 #include
　　 #include
　　 #include
　　 void myinit(void);
　　 void CALLBACK myReshape(GLsizei w, GLsizei h);
　　 void CALLBACK display(void);
　　 GLfloat ctrlpoints[4][3] = {
　　 　　 { -4.0, -4.0, 0.0 }, { -2.0, 4.0, 0.0 },
　　 　　 { 2.0,　-4.0, 0.0 }, { 4.0,　4.0, 0.0 }
　　 };
　　 void myinit(void)
　　 {
　　 　　 glClearColor(0.0, 0.0, 0.0, 1.0);
　　 glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3, 4,
　　 &ctrlpoints[0][0]);
　　 　　 glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3);
　　 　　 glShadeModel(GL_FLAT);
　　 }
　　 void CALLBACK display(void)
　　 {
　　 　　 int i;
　　 　　 glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
　　 　　 glColor3f(1.0, 1.0, 1.0);
　　 　　 glBegin(GL_LINE_STRIP);
　　 　　 for (i = 0; i <= 30; i++)
　　 　　　 glEvalCoord1f((GLfloat) i/30.0);
　　 　　 glEnd();
　　 　　 /* 顯示控制點 */
　　 　　 glPointSize(5.0);
　　 　　 glColor3f(1.0, 1.0, 0.0);
　　 　　 glBegin(GL_POINTS);
　　 　　 for (i = 0; i < 4; i++)
　　 　　 glVertex3fv(&ctrlpoints[i][0]);
　　 　　 glEnd();
　　 　 glFlush();
　　 }
　　 void CALLBACK myReshape(GLsizei w, GLsizei h)
　　 {
　　 　 glViewport(0, 0, w, h);
　　 　 glMatrixMode(GL_PROJECTION);
　　 　 glLoadIdentity();
　　 　 if (w <= h)
　　 glOrtho(-5.0, 5.0, -5.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w,
　　 5.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w, -5.0, 5.0);
　　 　 else
　　 glOrtho(-5.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, 5.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, -5.0, 5.0, -5.0, 5.0);
　　 glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
　　 glLoadIdentity();
　　 　　 }
　　 二、曲面構造
　　
　　 　　曲面的繪制方法基本上與曲線的繪制方法是相同的，所不同的是曲面使用二維求值器，並且控制點連接起來形成一個網格。
　　
　　 　　對於曲面，求值器除了使用二個參數U、V之外，其余與一維求值器基本相同。頂點坐標 、顏色、法線矢量和紋理坐標都對應於曲面而不是曲線。在OpenGL中定義二維求值器的函數是：
　　
　　 void glMap2{fd}(GLenum target,TYPE u1,TYPE u2,GLint ustride,GLint uorder,TYPE v1,TYPE v2,
　　 GLint vstride,GLint vorder,TYPE points);
　　 　　參數target可以是表一中任意值，不過需將MAP1改為MAP2。同樣，啟動曲面的函數仍是glEnable()，關閉是glDisable()。u1、u2為u的最大值和最小值；v1、v2為v的最大值和最小值。參數ustride和vstride指出在控制點數組中u和v向相鄰點的跨度，即可從一個非常大的數組中選擇一塊控制點長方形。例如，若數據定義成如下形式：
　　
　　 GLfloat ctlpoints[100][100][3];
　　 　　並且，要用從ctlpoints[20][30]開始的4x4子集，選擇ustride為100*3，vstride為3，初始點設置為ctlpoints[20][30][0]。最後的參數都是階數，uorder和vorder，二者可以不同。
　　
　　 　　曲面坐標計算函數為：
　　
　　 void glEvalCoord2{fd}[v](TYPE u,TYPE v);
　　 　　該函數產生曲面坐標並繪制。參數u和v是定義域內的值。下面看一個繪制Bezier曲面的例子：
　　
　　 /* 控制點的坐標 */
　　 　　 GLfloat ctrlpoints[4][4][3] = {
　　 {{-1.5, -1.5, 2.0}, {-0.5, -1.5, 2.0},
　　 　 {0.5, -1.5, -1.0}, {1.5, -1.5, 2.0}},
　　 　 {{-1.5, -0.5, 1.0}, {-0.5, 1.5, 2.0},
　　 {0.5, 0.5, 1.0}, {1.5, -0.5, -1.0}},
　　 {{-1.5, 0.5, 2.0}, {-0.5, 0.5, 1.0},
　　 {0.5, 0.5, 3.0}, {1.5, -1.5, 1.5}},
　　 {{-1.5, 1.5, -2.0}, {-0.5, 1.5, -2.0},
　　 {0.5, 0.5, 1.0}, {1.5, 1.5, -1.0}}
　　 };
　　 void myinit(void)
　　 {
　　 　　 glClearColor (0.0, 0.0, 0.0, 1.0);
　　 　　 glMap2f(GL_MAP2_VERTEX_3, 0, 1, 3, 4, 0, 1, 12, 4,
　　 &ctrlpoints[0][0][0]);
　　 glEnable(GL_MAP2_VERTEX_3);
　　 glMapGrid2f(20, 0.0, 1.0, 20, 0.0, 1.0);
　　 glEnable(GL_DEPTH_TEST);
　　 　　 }
　　 　　 void CALLBACK display(void)
　　 　　 {
　　 　　 int i, j;
　　 glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
　　 　　 glColor3f(0.3, 0.6, 0.9);
　　 　　 glPushMatrix ();
　　 　　 glRotatef(35.0, 1.0, 1.0, 1.0);
　　 　　 for (j = 0; j <= 8; j++)
　　 　　 {
　　 　　 glBegin(GL_LINE_STRIP);
　　 　　 for (i = 0; i <= 30; i++)
　　 　　 glEvalCoord2f((GLfloat)i/30.0, (GLfloat)j/8.0);
　　 　　 glEnd();
　　 　　 glBegin(GL_LINE_STRIP);
　　 　　 for (i = 0; i <= 30; i++)
　　 　　 glEvalCoord2f((GLfloat)j/8.0,
　　 (GLfloat)i/30.0);
　　 　　 glEnd();
　　 　　 }
　　 　　 glPopMatrix ();
　　 　　 glFlush();
　　 　　 }
　　 　　OpenGL中定義均勻間隔的曲面坐標值的函數與曲線的類似，其函數形式為：
　　
　　 void glMapGrid2{fd}(GLenum nu,TYPE u1,TYPE u2,GLenum nv,TYPE v1,TYPE v2);
　　 void glEvalMesh2(GLenum mode,GLint p1,GLint p2,GLint q1,GLint q2);
　　 　　第一個函數定義參數空間的均勻網格，從u1到u2分為等間隔的nu步，從v1到v2分為等間隔的nv步，然後glEvalMesh2()把這個網格應用到已經啟動的曲面計算上。第二個函數參數mode除了可以是GL_POINT和GL_LINE外，還可以是GL_FILL，即生成填充空間曲面。
　　
　　 　　下面舉出一個用網格繪制一個經過光照和明暗處理的Bezier曲面的例程：
　　
　　
　　 #include "glos.h"
　　 #include
　　 #include
　　 #include
　　 void myinit(void);
　　 void initlights(void);
　　 void CALLBACK myReshape(GLsizei w, GLsizei h);
　　 void CALLBACK display(void);
　　 /* 控制點坐標 */
　　 GLfloat ctrlpoints[4][4][3] = {
　　 　　 {{-1.5, -1.5, 2.0}, {-0.5, -1.5, 2.0},
　　 　 {0.5, -1.5, -1.0}, {1.5, -1.5, 2.0}},
　　 　 {{-1.5, -0.5, 1.0}, {-0.5, 1.5, 2.0},
　　 {0.5, 0.5, 1.0}, {1.5, -0.5, -1.0}},
　　 {{-1.5, 0.5, 2.0}, {-0.5, 0.5, 1.0},
　　 {0.5, 0.5, 3.0}, {1.5, -1.5, 1.5}},
　　 {{-1.5, 1.5, -2.0}, {-0.5, 1.5, -2.0},
　　 {0.5, 0.5, 1.0}, {1.5, 1.5, -1.0}}
　　 };
　　 void initlights(void)
　　 {
　　 　　 GLfloat ambient[] = { 0.4, 0.6, 0.2, 1.0 };
　　 　　 GLfloat position[] = { 0.0, 1.0, 3.0, 1.0 };
　　 　　 GLfloat mat_diffuse[] = { 0.2, 0.4, 0.8, 1.0 };
　　 　　 GLfloat mat_specular[] = { 1.0, 1.0, 1.0, 1.0 };
　　 　　 GLfloat mat_shininess[] = { 80.0 };
　　 　　 glEnable(GL_LIGHTING);
　　 　　 glEnable(GL_LIGHT0);
　　 　　 glLightfv(GL_LIGHT0, GL_AMBIENT, ambient);
　　 　　 glLightfv(GL_LIGHT0, GL_POSITION, position);
　　 glMaterialfv(GL_FRONT, GL_DIFFUSE, mat_diffuse);
　　 　 glMaterialfv(GL_FRONT, GL_SPECULAR, mat_specular);
　　 glMaterialfv(GL_FRONT, GL_SHININESS, mat_shininess);
　　 }
　　 void CALLBACK display(void)
　　 {
　　 　 glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
　　 　 glPushMatrix();
　　 　 glRotatef(35.0, 1.0, 1.0, 1.0);
　　 　 glEvalMesh2(GL_FILL, 0, 20, 0, 20);
　　 　 glPopMatrix();
　　 　 glFlush();
　　 }
　　 void myinit(void)
　　 {
　　 　　 glClearColor (0.0, 0.0, 0.0, 1.0);
　　 　　 glEnable (GL_DEPTH_TEST);
　　 　 glMap2f(GL_MAP2_VERTEX_3, 0, 1, 3, 4, 0, 1, 12,
　　 4, &ctrlpoints[0][0][0]);
　　 　 glEnable(GL_MAP2_VERTEX_3);
　　 　 glEnable(GL_AUTO_NORMAL);
　　 　 glEnable(GL_NORMALIZE);
　　 　 glMapGrid2f(20, 0.0, 1.0, 20, 0.0, 1.0);
　　 initlights();
　　 }
　　 void CALLBACK myReshape(GLsizei w, GLsizei h)
　　 {
　　 　　 glViewport(0, 0, w, h);
　　 　　 glMatrixMode(GL_PROJECTION);
　　 　　 glLoadIdentity();
　　 　　 if (w <= h)
　　 glOrtho(-4.0, 4.0, -4.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w,
　　 4.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w, -4.0, 4.0);
　　 else
　　 　 glOrtho(-4.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h,
　　 4.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, -4.0, 4.0, -4.0, 4.0);
　　 glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
　　 glLoadIdentity();
　　 }
　　 void main(void)
　　 {
　　 　　 auxInitDisplayMode (AUX_SINGLE AUX_RGBA);
　　 　 auxInitPosition (0, 0, 500, 500);
　　 　 auxInitWindow ("Lighted and Filled Bezier Surface");
　　 　 myinit();
　　 　 auxReshapeFunc (myReshape);
　　 　 auxMainLoop(display);
　　 }
　　 三、圖元逼近法繪制三維物體
　　 　　在OpenGL的輔助庫中，提供了繪制11種基本幾何圖形的函數，具體參考第一講的有關內容，在此不再贅述。這裡我們討論用另外一種方法來繪制三維物體 。
　　 　　需要注重的是，這裡我們用來近似曲面的多邊形最好選擇三角形，而不是四邊形或其他外形的多邊形，這是因為三角形的三個頂點在任何時候都位於同一平面內，它一定是非常簡單的非凹多邊形，而四邊形或其他多邊形的頂點可能不在同一平面內，也就有可能不是簡單多邊形，對於這樣的多邊形，OpenGL是不能正常處理的。假設我們繪制一個球體，球體表面用很多個小三角形拼接而成，顯然，用來近似球面的三角形越小、三角形越多，那麼球面就越光滑。為了簡要地說明如何用三角形逼近球體，這裡我們使用三角形來構造一個20面體，二十面體的頂點坐標定義在vdata[][]數組中，tindinces[][]數組定義了構成二十面體的二十個三角形頂點的繪制順序。下面是主要實現代碼：
　　 #define x 5.25731
　　 #define z 8.50651
　　 static GLfloat vdata[12][3]={
　　 {x,0.0,z},{x,0.0,z},{-x,0.0,-z},{x,0.0,-z},
　　 {0.0,z,x},{0.0,z,-x},{0.0,-z-x},{0.0,-z,-x},
　　 {z,x,0.0},{-z,x,0.0},{z,-x,0.0},{-z,-x,0.0}
　　 };
　　 static GLint tindices[20][3]={
　　 {0,4,1},{0,9,4},{9,5,4},{4,5,8},{4,8,1},
　　 {8,10,1},{8,3,10},{5,3,8},{5,2,3},{2,7,3},
　　 {7,10,3},{7,6,10},{7,11,6},{11,0,6},
　　 {6,1,10},{9,0,11},{9,11,2},{9,2,5},{7,2,11}
　　 };
　　 glColor3f(1.0, 0.0, 0.0);
　　 for(int i=0;i <20;i++){
　　 glBegin(GL_TRIANGLES);
　　 glVertex3fv(&vdata[tindices[i][0]][0]);
　　 glVertex3fv(&vdata[tindices[i][1]][0]);
　　 glVertex3fv(&vdata[tindices[i][2]][0]);
　　 glEnd();
　　 }
　　 　　顯然，用正二十面體來表示一個球體顯得過於粗糟，可以通過增加面數的方法使正多面體和求更為接近，一種簡單的方法是剖分法，即將前面定義的三角形面分成幾個面，例如，一分為四，形成4個多邊形等，具體實現方法這裡就不再贅述了。