理論:
圖像處理中常用的正交變換除了傅裡葉變換外,還有其他一些有用的正交變換,其中離散余弦就是一種。離散余弦變換表示為DCT( Discrete Cosine Transformation),常用於圖像處理和圖像識別等。
(1)
(2)
式中F(u)是第u個余弦變換系數,u是廣義頻率變量,u=1,2,3......N-1; f(x)是時域N點序列, x=0,1,2......N-1
(3)
顯然,式(1)式(2)和式(3)構成了一維離散余弦變換對。
(4)
式(4)是正變換公式。其中f(x,y)是空間域二維向量之元素, x,y=0,1,2,......N-1;F(u,v)是變換系數陣列之元素。式中表示的陣列為N×N
(5)
式中的符號意義同正變換式一樣。式(4)和式(5)是離散余弦變換的解析式定義。
更為簡潔的定義方法是采用矩陣式定義。根據以上公式定義可知,離散余弦變換的系數矩陣可以寫成如下:
如果令N=4,那麼由一維解析式定義可得如下展開式。
寫成矩陣式
若定義F(u)為變換矩陣,A為變換系數矩陣,f(x)為時域數據矩陣,則一維離散余弦變換的矩陣定義式可寫成如下形式
[F(u)]=[A][f(x)] (6)
同理,可得到反變換展開式
寫成矩陣式即
[f(x)]=[A]T[F(u)] (7)
二維離散余弦變換也可以寫成矩陣式:
[F(u,v)]=[A][f(x,y)][A]T (8)
[f(x,y)]=[A]T[F(u,v)][A]
式中[f(x,y)]是空間數據陣列,A是變換系數陣列,[F(u,v)]是變換矩陣,[A]T是[A]的轉置。
由以上對二維離散余弦變換的定義及公式(7)可知,求二維圖像的離散余弦變換要進行以下步驟:
1.獲得圖像的二維數據矩陣f(x,y);
2.求離散余弦變換的系數矩陣[A];
3.求系數矩陣對應的轉置矩陣[A]T;
4.根據公式(7)[F(u,v)]=[A][f(x,y)][A]T 計算離散余弦變換;
以下是我的c++代碼實現<當然其中針對的是圖像,故用到了opencv的庫函數>:C++代碼:
/* 功能:獲取DCT系數 n:矩陣大小 quotient: 系數 quotientT: 系數轉置 */ void coefficient(const int &n, double **quotient, double **quotientT){ double sqr = 1.0/sqrt(n+0.0); for(int i = 0; i < n; i++){ quotient[0][i] = sqr; quotientT[i][0] = sqr; } for(int i = 1; i < n; i++){ for(int j = 0; j < n; j++){ quotient[i][j] = sqrt(2.0/n)*cos(i*(j+0.5)*PI/n); // 由公式得到 quotientT[j][i] = quotient[i][j]; } } } /* 功能:兩矩陣相乘 A和B:源輸入矩陣 result:輸出矩陣 */ void matrixMultiply(double **A, double **B, int n, double **result){ double t = 0; for(int i = 0; i < n; i++){ for(int j = 0; j < n; j++){ t = 0; for(int k = 0; k < n; k++) t += A[i][k]*B[k][j]; result[i][j] = t; } } } // DCT變換 void DCT(Mat_image, const int &n, double **iMatrix){ for(int i = 0; i < n; i++){ for(int j = 0; j < n; j++){ iMatrix[i][j] = (double)image(i,j); } } // 為系數分配空間 double **quotient = new double*[n]; double **quotientT = new double*[n]; double **tmp = new double*[n]; for(int i = 0; i < n; i++){ quotient[i] = new double[n]; quotientT[i] = new double[n]; tmp[i] = new double[n]; } // 計算系數矩陣 coefficient(n, quotient, quotientT); matrixMultiply(quotient, iMatrix, n, tmp); // 由公式成績結果 matrixMultiply(tmp, quotientT, n, iMatrix); for(int i = 0; i < n; i++){ delete []tmp[i]; delete []quotient[i]; delete []quotientT[i]; } delete []tmp; delete []quotient; delete []quotientT; }