斜率優化專題5——bzoj 1096 [ZJOI2007]倉庫建設 題解

【原題】

Description

L公司有N個工廠，由高到底分布在一座山上。如圖所示，工廠1在山頂，工廠N在山腳。 由於這座山處於高原內陸地區（干燥少雨），L公司一般把產品直接堆放在露天，以節省費用。突然有一天，L公司的總裁L先生接到氣象部門的電話，被告知三天之後將有一場暴雨，於是L先生決定緊急在某些工廠建立一些倉庫以免產品被淋壞。由於地形的不同，在不同工廠建立倉庫的費用可能是不同的。第i個工廠目前已有成品Pi件，在第i個工廠位置建立倉庫的費用是Ci。對於沒有建立倉庫的工廠，其產品應被運往其他的倉庫進行儲藏，而由於L公司產品的對外銷售處設置在山腳的工廠N，故產品只能往山下運（即只能運往編號更大的工廠的倉庫），當然運送產品也是需要費用的，假設一件產品運送1個單位距離的費用是1。假設建立的倉庫容量都都是足夠大的，可以容下所有的產品。你將得到以下數據： 工廠i距離工廠1的距離Xi（其中X1=0）;  工廠i目前已有成品數量Pi;  在工廠i建立倉庫的費用Ci; 請你幫助L公司尋找一個倉庫建設的方案，使得總的費用（建造費用+運輸費用）最小。

Input

第一行包含一個整數N，表示工廠的個數。接下來N行每行包含兩個整數Xi, Pi, Ci, 意義如題中所述。

Output

僅包含一個整數，為可以找到最優方案的費用。

Sample Input

Sample Output

HINT

在工廠1和工廠3建立倉庫，建立費用為10+10=20，運輸費用為(9-5)*3 = 12，總費用32。如果僅在工廠3建立倉庫，建立費用為10，運輸費用為(9-0)*5+(9-5)*3=57，總費用67，不如前者優。【數據規模】對於20%的數據， N ≤500；對於40%的數據， N ≤10000；對於100%的數據， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位帶符號整數以內，保證中間計算結果不超過64位帶符號整數。

【分析與解法】總結一下我的最近的斜率優化題目的通解。

首先聲明一下，我不會證明斜率優化的正確性，大概打表或是看數據范圍就知道了。

第一步：推出n^2的方程，一般是一維方程，而且通用格式是：f[i]=min/max(f[j]+G)

f[i]=min(f[j]+sum[i]-sum[j]-G[j]*(a[i].x-a[j].x)+a[i].c);

第二步：假設j

f[k]+sum[i]-sum[k]-G[k]*(a[i].x-a[k].x)+a[i].c

第三步：然後把有關k、j的項移到左邊，把有關i的項移到右邊。有時兩邊要同除一個數使得右邊只剩下與i有關的成分。

抵消f[k]-sum[k]-G[k]*(a[i].x-a[k].x) 化簡f[k]-f[j]+sum[j]-sum[k]+G[k]*a[k].x-G[j]*a[j].x 除去(f[k]-f[j]+sum[j]-sum[k]+G[k]*a[k].x-G[j]*a[j].x)/(G[k]-G[j])

現在，就已經推出了斜率，再套用單調隊列即可。

【代碼】

#include
#include
#define N 1000005
using namespace std;
typedef long long ll;
struct arr{ll x,p,c;}a[N];
ll sum[N],G[N],f[N],q[N],n,i,j,h,t;
bool cmp(arr a,arr b){return a.x