浮點數的二進制表示

浮點數是屬於有理數中某特定子集的數的數字表示，在計算機中用以近似表示任意某個實數。具體的說，這個實數由一個整數或定點數即尾數）乘以某個基數計算機中通常是2）的整數次冪得到，這種表示方法類似於基數為10的科學記數法。

前幾天，我在讀一本C語言教材，有一道例題：

#include <stdio.h>  
void main(void){  
int num=9; /* num是整型變量，設為9 */ 
float* pFloat=&num; /* pFloat表示num的內存地址，但是設為浮點數 */ 
printf("num的值為：%d\n",num); /* 顯示num的整型值 */ 
printf("*pFloat的值為：%f\n",*pFloat); /* 顯示num的浮點值 */ 
*pFloat=9.0; /* 將num的值改為浮點數 */ 
printf("num的值為：%d\n",num); /* 顯示num的整型值 */ 
printf("*pFloat的值為：%f\n",*pFloat); /* 顯示num的浮點值 */ 
} 

運行結果如下：

num的值為：9  
*pFloat的值為：0.000000  
num的值為：1091567616  
*pFloat的值為：9.000000 

我很驚訝，num和*pFloat在內存中明明是同一個數，為什麼浮點數和整數的解讀結果會差別這麼大？

要理解這個結果，一定要搞懂浮點數在計算機內部的表示方法。我讀了一些資料，下面就是我的筆記。

1、在討論浮點數之前，先看一下整數在計算機內部是怎樣表示的。

int num=9; 

上面這條命令，聲明了一個整數變量，類型為int，值為9二進制寫法為1001）。普通的32位計算機，用4個字節表示int變量，所以9就被保存為00000000 00000000 00000000 00001001，寫成16進制就是0x00000009。

那麼，我們的問題就簡化成：為什麼0x00000009還原成浮點數，就成了0.000000？

2、根據國際標准IEEE 754，任意一個二進制浮點數V可以表示成下面的形式：

V = (-1)^s×M×2^E

1）(-1)^s表示符號位，當s=0，V為正數；當s=1，V為負數。

2）M表示有效數字，大於等於1，小於2。

3）2^E表示指數位。

舉例來說，十進制的5.0，寫成二進制是101.0，相當於1.01×2^2。那麼，按照上面V的格式，可以得出s=0，M=1.01，E=2。

十進制的-5.0，寫成二進制是-101.0，相當於-1.01×2^2。那麼，s=1，M=1.01，E=2。

IEEE 754規定，對於32位的浮點數，最高的1位是符號位s，接著的8位是指數E，剩下的23位為有效數字M。

對於64位的浮點數，最高的1位是符號位S，接著的11位是指數E，剩下的52位為有效數字M。

3、IEEE 754對有效數字M和指數E，還有一些特別規定。

前面說過，1≤M<2，也就是說，M可以寫成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小數部分。IEEE 754規定，在計算機內部保存M時，默認這個數的第一位總是1，因此可以被捨去，只保存後面的xxxxxx部分。比如保存1.01的時候，只保存01，等到讀取的時候，再把第一位的1加上去。這樣做的目的，是節省1位有效數字。以32位浮點數為例，留給M只有23位，將第一位的1捨去以後，等於可以保存24位有效數字。

至於指數E，情況就比較復雜。

首先，E為一個無符號整數unsigned int）。這意味著，如果E為8位，它的取值范圍為0~255；如果E為11位，它的取值范圍為0~2047。但是，我們知道，科學計數法中的E是可以出現負數的，所以IEEE 754規定，E的真實值必須再減去一個中間數，對於8位的E，這個中間數是127；對於11位的E，這個中間數是1023。

比如，2^10的E是10，所以保存成32位浮點數時，必須保存成10+127=137，即10001001。

然後，指數E還可以再分成三種情況：

1）E不全為0或不全為1。這時，浮點數就采用上面的規則表示，即指數E的計算值減去127或1023），得到真實值，再將有效數字M前加上第一位的1。

2）E全為0。這時，浮點數的指數E等於1-127或者1-1023），有效數字M不再加上第一位的1，而是還原為0.xxxxxx的小數。這樣做是為了表示±0，以及接近於0的很小的數字。

3）E全為1。這時，如果有效數字M全為0，表示±無窮大正負取決於符號位s）；如果有效數字M不全為0，表示這個數不是一個數NaN）。

4、好了，關於浮點數的表示規則，就說到這裡。

下面，讓我們回到一開始的問題：為什麼0x00000009還原成浮點數，就成了0.000000？

首先，將0x00000009拆分，得到第一位符號位s=0，後面8位的指數E=00000000，最後23位的有效數字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。

由於指數E全為0，所以符合上一節的第二種情況。因此，浮點數V就寫成：

V=(-1)^0×0.00000000000000000001001×2^(-126)=1.001×2^(-146)

顯然，V是一個很小的接近於0的正數，所以用十進制小數表示就是0.000000。

5、再看例題的第二部分。

請問浮點數9.0，如何用二進制表示？還原成十進制又是多少？

首先，浮點數9.0等於二進制的1001.0，即1.001×2^3。

那麼，第一位的符號位s=0，有效數字M等於001後面再加20個0，湊滿23位，指數E等於3+127=130，即10000010。

所以，寫成二進制形式，應該是s+E+M，即0 10000010 001 0000 0000 0000 0000 0000。這個32位的二進制數，還原成十進制，正是1091567616。

原文地址：http://www.ruanyifeng.com/blog/2010/06/ieee_floating-point_representation.html