首先百度之後知道，fibonacci數列其實在科學中有著廣泛的應用，下面一句話引子百度百科：在現代物理、准晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用。
了解fibonacci數列的人都知道它的推到公式：
0 n=0
f(n)=1 n=1
f(n-1)+f(n-2) n>=2
有時候遇到的問題是如何求解fibonacci數列的各項的值，我記得有兩種方法，就是遞歸方法和應用循環的方法。下面給出兩種程序的代碼：
[cpp]
#include<stdio.h>
int fibonacci_recursion(int n)
{//遞歸算法
int result[2]={0,1};
if(n<2)
return result[n];
else
return fibonacci_recursion(n-1)+fibonacci_recursion(n-2);
}
int fibonacci_non_recursion(int n)
{//非遞歸算法
int result[2]={0,1};
if(n<2)
return result[n];
int i;
int fa=0,fb=1,fc;
for(i=1;i<n;i++)
{
fc=fa+fb;
fa=fb;
fb=fc;
}
return fc;
}
void main()
{
int n;
printf("input n value:");
scanf("%d",&n);
printf("%d\n",fibonacci_recursion(n));
printf("%d\n",fibonacci_non_recursion(n));
}
上面的兩個方法都是在O(N)的時間內得到解，但是在csdn的論壇上看到有人說，可以再O(logn)時間內求得fibonacci數列的第n項值，於是google了一下，找到了一篇博文，的確可以在O(logn)內求解。
有一個數學公式：{f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}n-1。
(注：{f(n+1), f(n), f(n), f(n-1)}表示一個矩陣。在矩陣中第一行第一列是f(n+1)，第一行第二列是f(n)，第二行第一列是f(n)，第二行第二列是f(n-1)。)
下面就來證明一下這個公式的正確性：fibonacci的第0項為0，第一項和第二項分別是1，所以有公式{1,1,1,0}，然後第三項為2，那麼有公式{2,1,1,1}，此時k=3，則計算第一個公式的平方結果是{2,1,1,1}，結果正對，假設k=n-1時，公式成立，就有{f(n-1), f(n-2), f(n-2), f(n-3)} ={1, 1, 1,0}n-2
由fibonacci數列的遞推式可以得到{f(n),f(n-1),f(n-1),f(n-2)}={f(n-1)+f(n-2),f(n-1),f(n-2)+f(n-3),f(n-2)},因為計算的原因，公式中第二項和第四項不用代換，可以看出，這個結果就是{f(n-1), f(n-2), f(n-2), f(n-3)}與{1,1,1,0}相乘的結果。故原式得證。
如果簡單第從0開始循環，n次方將需要n次運算，並不比前面的方法要快。但我們可以考慮乘方的如下性質：
/ an/2*an/2 n為偶數時
an=
\ a(n-1)/2*a(n-1)/2 n為奇數時
要求得n次方，我們先求得n/2次方，再把n/2的結果平方一下。如果把求n次方的問題看成一個大問題，把求n/2看成一個較小的問題。這種把大問題分解成一個或多個小問題的思路我們稱之為分治法。這樣求n次方就只需要logn次運算了。
實現這種方式時，首先需要定義一個2×2的矩陣，並且定義好矩陣的乘法以及乘方運算。當這些運算定義好了之後，剩下的事情就變得非常簡單。完整的實現代碼如下所示。
[cpp]
<span style="font-family:Simsun;">#include<stdio.h>
#include<assert.h>
struct Matrix2By2
{
int m_00;
int m_01;
int m_10;
int m_11;
Matrix2By2(int m00=0,int m01=0,int m10=0,int m11=0):m_00(m00),m_01(m01),m_10(m10),m_11(m11)
{
}
};
Matrix2By2 MatrixMultiply(const Matrix2By2& matrix1,const Matrix2By2& matrix2)
{
return Matrix2By2(
matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
}
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
{
assert(n>0);
Matrix2By2 matrix;
if(n==1)
matrix=Matrix2By2(1,1,1,0);
else if(n%2==0)
{
matrix=MatrixPower(n/2);
matrix=MatrixMultiply(matrix,matrix);
}
else if(n%2==1)
{
matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
}
return matrix;
}
int fibonacci_solution(unsigned int n)
{
int result[2] = {0, 1};
if(n < 2)
return result[n];
Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
return PowerNMinus2.m_00;
}
void main()
{
unsigned int n;
printf("input n value:");
scanf("%d",&n);
printf("%d\n",fibonacci_solution(n));
}</span>
運行，能得到正確的結果。就像題目所說，給我fibonacci在我們計算機中的一個應用吧，就是跳台階的問題。給定n個台階，有兩種選擇，就是一次可以跳一個台階，還有是一次可以跳兩個台階。求總共有多少總跳法，並分析算法的時間復雜度。把n級台階時的跳法看成是n的函數，記為f(n)。當n>2時，第一次跳的時候就有兩種不同的選擇：一是第一次只跳1級，此時跳法數目等於後面剩下的n-1級台階的跳法數目，即為f(n-1)；另外一種選擇是第一次跳2級，此時跳法數目等於後面剩下的n-2級台階的跳法數目，即為f(n-2)。因此n級台階時的不同跳法的總數f(n)=f(n-1)+(f-2)。
我們把上面的分析用一個公式總結如下：
/ 1 n=1
f(n)= 2 n=2
\ f(n-1)+(f-2) n>2
如果有三種選擇就是一次可以分別跳1，2，3,次的話，這個遞推式就可以寫成：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3).
