To The Max
Problem Description
Given a two-dimensional array of positive and negative integers, a sub-rectangle is any contiguous sub-array of size 1 x 1 or greater located within the whole array. The sum of a rectangle is the sum of all the elements in that rectangle. In this problem the sub-rectangle with the largest sum is referred to as the maximal sub-rectangle.
As an example, the maximal sub-rectangle of the array:
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
is in the lower left corner:
9 2
-4 1
-1 8
and has a sum of 15.
Input
The input consists of an N x N array of integers. The input begins with a single positive integer N on a line by itself, indicating the size of the square two-dimensional array. This is followed by N 2 integers separated by whitespace (spaces and newlines). These are the N 2 integers of the array, presented in row-major order. That is, all numbers in the first row, left to right, then all numbers in the second row, left to right, etc. N may be as large as 100. The numbers in the array will be in the range [-127,127].
Output
Output the sum of the maximal sub-rectangle.
Sample Input
4
0 -2 -7 0 9 2 -6 2
-4 1 -4 1 -1
8 0 -2
Sample Output
15
題目我起先用暴力法來解答，不過，通不過，超時，後來參考了一下別人的思想吧！沒想到這道題還可以用動歸的方法解答，很吃驚啊！
代碼如下：
[cpp]
//這個程序可以求出m*n的矩陣某一塊的最大值
//這種搜索算法沒有錯誤！但是超時，因此還要進一步優化算法！
//這道題的題意說的比較模糊，題目裡沒有說要多個測試數據，弄得我只處理了一次，導致老是錯誤，又找不到問題所在！
/*
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAX=10010;
int arr[MAX];
int main()
{
int s,max=-200;
int we=0;
int m,n;
while(scanf("%d",&arr[0])!=EOF)
{
//cin>>arr[0];//輸入方陣的維數
m=n=arr[0];
for(int i=1;i<=arr[0]*arr[0];i++)
cin>>arr[i];
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)//這裡是表示塊數的大小，i*j
for(int p=1;m-p>=i-1 ;p++)
for(int q=1;n-q>=j-1 ;q++)//搜索路線，自上而下，自左向右
{
int cur=p+m*(q-1);
int count=0;
int temp=cur;
int temp1=1;
s=0;
//cout<<"第"<<we<<"次搜索： "<<endl;
//cout<<"起點是 行數"<<p<<","<<"列數"<<q<<endl;
//cout<<"p="<<p<<",n="<<n<<endl;
for(int k=1;k<=i*j;k++)
{
//cout<<arr[temp]<<" ";
s=s+arr[temp];
count++;
temp++;
if(count>=i)
{
temp=cur+temp1*m;
temp1++;
count=0;
}
}
//cout<<endl;
//we++;
if(s>max)
max=s;
}
cout<<max<<endl;
//system("pause");
}
return 0;
}
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int arr[101][101];
int sum[101],dp[101];
int main()
{
int i,j,k,p,n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
int max=-200;
memset(sum,0,sizeof(sum));
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
cin>>arr[i][j];
//很難想到，這居然是一道動態規劃題
//1、最大子字段和
/*
題目可以轉化為兩個子問題：
1，給定n個整數（可能為負數）組成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求該序列如a+a+…+a[j]的子段和的最大值。當所給的整均為負數時定義子段和為0，依此定義，所求的最優值為Max{0,a+a+…+a[j]},1<=i<=j<=n
我們把b[j]理解為從前面某項開始包含a[j]（a[j]為最後一個元素）的連續的段的和最大值，易知，開始的a[i]必定為正數！
記b[j]=max(a+..+a[j-1]+a[j]),其中1<=i<=j,並且1<=j<=n,需要明確的一點是b[j]的值必須包含a[j]。則所求的最大子段和為max{b[j]}，1<=j<=n。
由b[j]的定義可易知，當b[j-1]>0時(即前面的段加上a[j]這一段值會更大，自然把a[j]這一段接上)b[j]=b[j-1]+a[j]，否則（由於前面的段為負值，加上a[j],會使值變小，這樣的話，我們將前面的段去掉，a[j]即是最大值）b[j]=a[j]。故b[j]的動態規劃遞歸式為 b[j]=max(b[j-1]+a[j],a[j])，1<=j<=n。
2、最大子矩陣和
矩陣是二維的，將其壓縮成一維就可以用上面的方法求出最大子矩陣和了
即將一層層的數相加，壓縮成一維的即可，我們遍歷所有的壓縮可能，就可以通過上面的方法，求出最大值！
*/
for(i=0;i<n;i++)
{
memset(sum,0,sizeof(sum));
for(k=i;k<n;k++)
{
for(j=0;j<n;j++)
sum[j]=arr[k][j]+sum[j];
dp[0]=sum[0];
for(p=1;p<n;p++)
{
if (dp[p-1]>0) dp[p]=dp[p-1]+sum[p];
else dp[p]=sum[p];
if (dp[p]>max) max=dp[p];
/*
if(dp[p-1]+sum[p]>sum[p])
dp[p]=dp[p-1]+sum[p];
else
dp[p]=dp[p-1];
if(dp[p]>max) max=dp[p];
*/
}
}
}
cout<<max<<endl;
//system("pause");
}
return 0;
}
