證明是看大牛的...自己好好理解吧
做這道題應該拿出高中那種做選擇題的技巧出來。任意x都滿足 65|f(x) ，那麼f(1)一定在列，f(1)=18+ka , 那麼必須滿足 65|(18+ka) ,
從0–64遍歷 a 即可，當然這只是必要條件，至於充分條件那得靠人品了，我不想誤導別人，下面給出證明。
采用歸納假設法，f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x 。
先假設 65|f(x) 成立 ，要證明對於任意x都成立，那麼只需證明 65|f(x+1) 成立。
f(x+1)=5*(x+1)^13+13*(x+1)^5+k*a*(x+1) ;
用二項式定理展開f(x+1)=5*( C(13,0)+C(13,1)*x+……+C(13,13)*x^13 ) + 13*( C(5,0)+C(5,1)*x+……+C5,5)*x^5 ) + k*a*(x+1)
可以得到 f(x+1)=f(x)+5*( C(13,0)+C(13,1)*x+……+C(13,12)*x^12 ) + 13*( C(5,0)+C(5,1)*x+……+C5,4)*x^4 ) + k*a
f(x+1)=f(x)+ 5*( C(13,1)*x+……+C(13,12)*x^12 ) + 13*( C(5,1)*x+……+C(5,4)*x^4 ) + 5*C(13,0)+13*C(5,0)+ k*a
顯然f(x)+ 5*( C(13,1)*x+……+C(13,12)*x^12 ) + 13*( C(5,1)*x+……+C5,4)*x^4 ) 能被65整除，那麼只需滿足後部分被65整除即可。
5*C(13,0)+13*C(5,0)+ k*a =18+k*a ;
只要滿足65|(18+k*a)，65|f(x+1)就成立，也就是f(x)對於任意x都滿足 65|f(x) 。
對於給定的k，只有搜索滿足 65|(18+k*a) 的a 即可，a的大小一定是1—-64。
代碼：
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
int a;
while(cin>>a){
a %= 65;
int flag=0;
for(int i=1;i<=65;i++){
if(i*a%65==47){ cout<<i<<endl; flag=1; break; }
}
if(!flag) cout<<"no"<<endl;
}
}
