[cpp] /********************************************************* 算法引入： 給定一個完全二分圖G=(X∪Y，X×Y),其中邊(x,y)有權w(x,y); 要找一個從X到Y具有最大權和的匹配M，即為二分圖的最優匹配問題; KM(Kuhn_Munkras)算法求的是完備匹配下的最大權匹配; 算法思想： KM算法是通過給每個頂點一個標號（叫做頂標）來把求最大權匹配的問題轉化為求完備匹配的問題的; 設頂點Xi的頂標為A[i]，頂點Yi的頂標為B[i]，頂點Xi與Yj之間的邊權為w[i,j]; 在算法執行過程中的任一時刻，對於任一條邊(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始終成立; 初始A[i]為與Xi相連的邊的最大邊權，B[j]=0; KM算法的正確性基於以下定理： 設G(V,E)為二分圖,G'(V,E')為該二分圖的子圖; 如果對於G'中的任何邊<x,y>滿足， A(x)+ B(y)==W[x,y]; 則稱G'(V,E')為G(V,E)的等價子圖或相等子圖(是G的生成子圖); 若由二分圖中所有滿足A[i]+B[j]=w[i,j]的邊(i,j)構成的子圖（稱做相等子圖）有完備匹配; 那麼這個完備匹配就是二分圖的最大權匹配; 因為對於二分圖的任意一個匹配，如果它包含於相等子圖; 那麼它的邊權和等於所有頂點的頂標和； 如果它有的邊不包含於相等子圖，那麼它的邊權和小於所有頂點的頂標和(即不是最優匹配); 所以相等子圖的完備匹配一定是二分圖的最大權匹配; 相等子圖包含原圖的所有的點，相等子圖一定可以找到完備匹配; 相等子圖的完備匹配只需加一些虛擬點可以擴充為完美匹配(記為M); 完美匹配是包含了所有點的匹配，那麼所有點的頂點的標號值都包括進來了; 雖然有些點是0，在這個狀態下，把相等子圖的標號一一對應的標到原圖上去; 原圖的任意一個匹配最多只能包含原圖的所有頂點; 即任何匹配的權和不可能超過所有標號的和，所以M的和必然是最優的; 算法改進： 給每個Y頂點一個"松弛量"函數slack; 每次開始找增廣路時初始為無窮大; 在尋找增廣路的過程中，檢查(i,j)時，如果它不在相等子圖中; 則讓slack[j]=min(原值,A[i]+B[j]-W[i,j]); 這樣在修改頂標時，取所有的不在交錯樹中的Y頂點的slack值中的最小值作為d值即可; 算法過程： ①初始化可行頂標的值; ②用匈牙利算法尋找完備匹配; ③若未找到完備匹配則修改可行頂標的值; ④重復②③直到找到相等子圖的完備匹配; **********************************************************/ #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<cstdio> #include<climits> #include<algorithm> using namespace std; const int N = 1000; const int INF = 0xffffff; int w[N][N];//權值 int lx[N],ly[N]; //頂標 int linky[N];//記錄與i匹配的頂點 int visx[N],visy[N]; int slack[N];//松弛量 int nx,ny;//二分圖兩邊的頂點數 void init() { memset(linky,-1,sizeof(linky));//記錄與i匹配的頂點 memset(ly,0,sizeof(ly));///初始化頂標y為0 for(int i = 0; i < nx; i++) for(int j = 0,lx[i] = -INF; j < ny; j++) { if(w[i][j] > lx[i]) lx[i] = w[i][j];///初始化頂標x為與頂點Xi關聯的邊的最大權 } } bool find(int x)//匈牙利算法 { visx[x] = true; for(int y = 0; y < ny; y++) { if(visy[y]) continue; int t = lx[x] + ly[y] - w[x][y];//若t==0，則為最大權匹配； if(t==0) { visy[y] = true; if(linky[y]==-1 || find(linky[y])) { linky[y] = x; return true; //找到增廣軌 } } else if(slack[y] > t) slack[y] = t; } return false; //沒有找到增廣軌（說明頂點x沒有對應的匹配，與完備匹配(相等子圖的完備匹配)不符） } int KM() //返回最優匹配的值 { init(); for(int x = 0; x < nx; x++) { for(int i = 0; i < ny; i++) slack[i] = INF;//松弛函數初始化為無窮大 while(1) { memset(visx,0,sizeof(visx)); memset(visy,0,sizeof(visy)); if(find(x)) //找到增廣軌，退出 break; int d = INF; for(int i = 0; i < ny; i++) //沒找到，對l做調整(這會增加相等子圖的邊)，重新找 { if(!visy[i] && d > slack[i]) d = slack[i]; } for(int i = 0; i < nx; i++)//修改x的頂標 { if(visx[i]) lx[i] -= d; } for(int i = 0; i < ny; i++)//修改y的頂標 { if(visy[i]) ly[i] += d; else slack[i] -= d;//修改頂標後，不在交錯樹中的y頂點的slack值都要減去d； } } } int result = 0; for(int i = 0; i < ny; i++) { if(linky[i]>-1) result += w[linky[i]][i]; } return result; } int main() { www.2cto.com //freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\kd.txt","r",stdin); while(~scanf("%d%d",&nx,&ny)) { if(!nx||!ny) break; int a,b,c; while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&c),a+b+c) { w[a][b]=c; } printf("%d\n",KM()); } return 0; }
