問題：給定m*n的矩陣，求具有最大和的矩形子數組。
先上暴力算法，求出所有矩形子數組的和，記錄其中最大值。思路就是從1*1的最小子矩陣開始(m*n個)，到m*n的最大子矩陣(一個)結束，求出每個子矩陣的和，找出最大值。
[cpp]
/** @brief 在m*n的矩陣a中查找最大子矩陣的和
** @note 使用一維數組代替二維數組,
** 元素a[i][j] = a[i*n+j].
** @return 最大子數組的和
** @author quickSort,
** @date 2013/08/10
**
*/
int maxSubMatrix_BF(int *a, int m, int n)
{
int mm=NM,sum=0;
for(int i=0;i<m;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{///for all a[i][j]
for(int ii=i;ii<m;ii++)
{
for(int jj=j;jj<n;jj++)
{
sum = 0;
for(int ti=i; ti<=ii;ti++)
for(int tj=j; tj<=jj;tj++)
{
sum += a[ti*n+tj];///a[ii][jj] ///sum of a[i][j] -> a[ii][jj]
}
mm = max(sum,mm);
}
}
}
}
cout<<__FUNCTION__<<": "<<mm<<endl;
return m;
}
/** @brief 在m*n的矩陣a中查找最大子矩陣的和
** @note 使用一維數組代替二維數組,
** 元素a[i][j] = a[i*n+j].
** @return 最大子數組的和
** @author quickSort,
** @date 2013/08/10
**
*/
int maxSubMatrix_BF(int *a, int m, int n)
{
int mm=NM,sum=0;
for(int i=0;i<m;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{///for all a[i][j]
for(int ii=i;ii<m;ii++)
{
for(int jj=j;jj<n;jj++)
{
sum = 0;
for(int ti=i; ti<=ii;ti++)
for(int tj=j; tj<=jj;tj++)
{
sum += a[ti*n+tj];///a[ii][jj] ///sum of a[i][j] -> a[ii][jj]
}
mm = max(sum,mm);
}
}
}
}
cout<<__FUNCTION__<<": "<<mm<<endl;
return m;
}
為了使矩形的2維都可以是變量，這裡使用一維數組模擬二維矩陣，m*n的矩陣中元素a[i][j]對應於數組中的值就是a[i*n+j]。
其復雜度是多少呢……？一眼看去，6個for循環，OMG。。。像是O(m3n3).
顯然，復雜度太高了。。。。
===================================================================================================
結合一維最大子數組，可以這麼考慮：二維矩陣在某種程度上可以看做一位數組，而一維數組的每個元素又是一維數組。對於一維數組，最大子數組的和我們已經可以在O(n)內求出，而不需要O(n2)。
這裡再回憶一下這兩個算法：
平方算法：
[cpp]
///算法1.
///在數組a[n]中找出子數組的最大和
void maxSum_1(int a[], int n)
{
int sum=NM,m=NM;//NM是一個很小的負數，例如-99999999.下同
for(int i=0; i<n; i++)
{
sum=0;
for(int j=i; j<n; j++)
{
sum += a[j];
m = max(m,sum);
}
}
cout<<__FUNCTION__<<" : "<<m<<endl;
}
///算法1.
///在數組a[n]中找出子數組的最大和
void maxSum_1(int a[], int n)
{
int sum=NM,m=NM;//NM是一個很小的負數，例如-99999999.下同
for(int i=0; i<n; i++)
{
sum=0;
for(int j=i; j<n; j++)
{
sum += a[j];
m = max(m,sum);
}
}
cout<<__FUNCTION__<<" : "<<m<<endl;
}
掃描算法：
[cpp]
///算法2，掃描算法
///在數組a[n]中找出子數組的最大和
void maxSum_3(int a[], int n)
{
int maxSoFar=NM, maxEndingHere=NM;
for(int i=0; i<n; i++)
{
maxEndingHere = max(maxEndingHere+a[i], a[i]);
maxSoFar = max(maxSoFar,maxEndingHere);
}
cout<<__FUNCTION__<<" : "<< maxSoFar <<endl;
}
///算法2，掃描算法
///在數組a[n]中找出子數組的最大和
void maxSum_3(int a[], int n)
{
int maxSoFar=NM, maxEndingHere=NM;
for(int i=0; i<n; i++)
{
maxEndingHere = max(maxEndingHere+a[i], a[i]);
maxSoFar = max(maxSoFar,maxEndingHere);
}
cout<<__FUNCTION__<<" : "<< maxSoFar <<endl;
}
對於行向量(m個)，使用普通的平方算法，即算法1，
對於列向量(n個)，使用掃描算法，即算法2。
具體代碼如下：
[cpp]
/** @brief 在m*n的矩陣a中查找最大子矩陣的和
** @note 使用一維數組代替二維數組,
** 元素a[i][j] = a[i*n+j].
** @return 最大子數組的和
** @author quickSort,
** @date 2013/08/10
**
*/
int maxSubMatrix(int *a, int m, int n)
{
int i,j,k;
int maxSoFar=NM,maxEndingHere;
int *sum = (int*)malloc(sizeof(int)*n);
for(i=0;i<m;i++)
{
memset(sum,0,sizeof(int)*n);///sum=0
for(j=i;j<m;j++)///在m維度上使用平平方算法
{
maxEndingHere = 0;
for(k=0;k<n;k++)///在n維度上使用掃描算法
{
sum[k] += a[j*n+k];///a[j*n+k]=a[j][k]
maxEndingHere=max(maxEndingHere+sum[k],sum[k]);
maxSoFar = max(maxSoFar,maxEndingHere);
}
}
}
free(sum);
cout<<__FUNCTION__<<" : "<<maxSoFar<<endl;
return maxSoFar;
}
/** @brief 在m*n的矩陣a中查找最大子矩陣的和
** @note 使用一維數組代替二維數組,
** 元素a[i][j] = a[i*n+j].
** @return 最大子數組的和
** @author quickSort,
** @date 2013/08/10
**
*/
int maxSubMatrix(int *a, int m, int n)
{
int i,j,k;
int maxSoFar=NM,maxEndingHere;
int *sum = (int*)malloc(sizeof(int)*n);
for(i=0;i<m;i++)
{
memset(sum,0,sizeof(int)*n);///sum=0
for(j=i;j<m;j++)///在m維度上使用平平方算法
{
maxEndingHere = 0;
for(k=0;k<n;k++)///在n維度上使用掃描算法
{
sum[k] += a[j*n+k];///a[j*n+k]=a[j][k]
maxEndingHere=max(maxEndingHere+sum[k],sum[k]);
maxSoFar = max(maxSoFar,maxEndingHere);
}
}
}
free(sum);
cout<<__FUNCTION__<<" : "<<maxSoFar<<endl;
return maxSoFar;
}
其復雜度為O(m2n)。
完整測試代碼：
[cpp]
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
///
/** @brief 矩形子數組的最大和 完整測試代碼
** @author quickSort,
** @date 2013/08/10
**
**
*/
using namespace std;
int d[] = {-3,-2,-67,-7,-9,-8};
int c[] = {1,-2,3,10,-4,7,2,-5};
int e[] = /// 2*8 || 4*4
{ 1,-2, 3,10,
-4, 7, 2,-5,
1,-8,-5,-9,
7,10,-6,-20
};
const int NM = -99999;
void maxSum_1(int a[], int n)
{
int sum=NM,m=NM;
for(int i=0; i<n; i++)
{
sum=0;
for(int j=i; j<n; j++)
{
sum += a[j];
m = max(m,sum);
}
}
cout<<__FUNCTION__<<" : "<<m<<endl;
}
void maxSum_3(int a[], int n)
{
int maxSoFar=NM, maxEndingHere=NM;
for(int i=0; i<n; i++)
{
maxEndingHere = max(maxEndingHere+a[i], a[i]);
maxSoFar = max(maxSoFar,maxEndingHere);
}
cout<<__FUNCTION__<<" : "<< maxSoFar <<endl;
}
template <typename T>
inline T abs(T n)
{
return n<0?(-n):n;
}
///-----------------------------------------
/** @brief 在m*n的矩陣a中查找最大子矩陣的和
** @note 使用一維數組代替二維數組,
** 元素a[i][j] = a[i*n+j].
** @return 最大子數組的和
** @author quickSort,
** @date 2013/08/10
**
*/
int maxSubMatrix(int *a, int m, int n)
{
int i,j,k;
int maxSoFar=NM,maxEndingHere;
int *sum = (int*)malloc(sizeof(int)*n);
for(i=0;i<m;i++)
{
memset(sum,0,sizeof(int)*n);///sum=0
for(j=i;j<m;j++)
{
maxEndingHere = 0;
for(k=0;k<n;k++)
{
sum[k] += a[j*n+k];///a[j*n+k]=a[j][k]
maxEndingHere=max(maxEndingHere+sum[k],sum[k]);
maxSoFar = max(maxSoFar,maxEndingHere);
}
}
}
free(sum);
cout<<__FUNCTION__<<" : "<<maxSoFar<<endl;
return maxSoFar;
}
/** @brief 在m*n的矩陣a中查找最大子矩陣的和
** @note 使用一維數組代替二維數組,
** 元素a[i][j] = a[i*n+j].
** @return 最大子數組的和
** @author quickSort,
** @date 2013/08/10
**
*/
int maxSubMatrix_BF(int *a, int m, int n)
{
int mm=NM,sum=0;
for(int i=0;i<m;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{///for all a[i][j]
for(int ii=i;ii<m;ii++)
{
for(int jj=j;jj<n;jj++)
{
sum = 0;
for(int ti=i; ti<=ii;ti++)
for(int tj=j; tj<=jj;tj++)
{
sum += a[ti*n+tj];///a[ii][jj] ///sum of a[i][j] -> a[ii][jj]
}
mm = max(sum,mm);
}
}
}
}
cout<<__FUNCTION__<<": "<<mm<<endl;
return m;
}
int main()
{
int n = sizeof(c)/sizeof(int);
int a[100];
reset(a,n);
maxSum_1(a,n);
maxSum_3(a,n);
maxSubMatrix(e,4,4);
maxSubMatrix_BF(e,4,4);
return 0;
}
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
///
/** @brief 矩形子數組的最大和 完整測試代碼
** @author quickSort,
** @date 2013/08/10
**
**
*/
using namespace std;
int d[] = {-3,-2,-67,-7,-9,-8};
int c[] = {1,-2,3,10,-4,7,2,-5};
int e[] = /// 2*8 || 4*4
{ 1,-2, 3,10,
-4, 7, 2,-5,
1,-8,-5,-9,
7,10,-6,-20
};
const int NM = -99999;
void maxSum_1(int a[], int n)
{
int sum=NM,m=NM;
for(int i=0; i<n; i++)
{
sum=0;
for(int j=i; j<n; j++)
{
sum += a[j];
m = max(m,sum);
}
}
cout<<__FUNCTION__<<" : "<<m<<endl;
}
void maxSum_3(int a[], int n)
{
int maxSoFar=NM, maxEndingHere=NM;
for(int i=0; i<n; i++)
{
maxEndingHere = max(maxEndingHere+a[i], a[i]);
maxSoFar = max(maxSoFar,maxEndingHere);
}
cout<<__FUNCTION__<<" : "<< maxSoFar <<endl;
}
template <typename T>
inline T abs(T n)
{
return n<0?(-n):n;
}
///-----------------------------------------
/** @brief 在m*n的矩陣a中查找最大子矩陣的和
** @note 使用一維數組代替二維數組,
** 元素a[i][j] = a[i*n+j].
** @return 最大子數組的和
** @author quickSort,
** @date 2013/08/10
**
*/
int maxSubMatrix(int *a, int m, int n)
{
int i,j,k;
int maxSoFar=NM,maxEndingHere;
int *sum = (int*)malloc(sizeof(int)*n);
for(i=0;i<m;i++)
{
memset(sum,0,sizeof(int)*n);///sum=0
for(j=i;j<m;j++)
{
maxEndingHere = 0;
for(k=0;k<n;k++)
{
sum[k] += a[j*n+k];///a[j*n+k]=a[j][k]
maxEndingHere=max(maxEndingHere+sum[k],sum[k]);
maxSoFar = max(maxSoFar,maxEndingHere);
}
}
}
free(sum);
cout<<__FUNCTION__<<" : "<<maxSoFar<<endl;
return maxSoFar;
}
/** @brief 在m*n的矩陣a中查找最大子矩陣的和
** @note 使用一維數組代替二維數組,
** 元素a[i][j] = a[i*n+j].
** @return 最大子數組的和
** @author quickSort,
** @date 2013/08/10
**
*/
int maxSubMatrix_BF(int *a, int m, int n)
{
int mm=NM,sum=0;
for(int i=0;i<m;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{///for all a[i][j]
for(int ii=i;ii<m;ii++)
{
for(int jj=j;jj<n;jj++)
{
sum = 0;
for(int ti=i; ti<=ii;ti++)
for(int tj=j; tj<=jj;tj++)
{
sum += a[ti*n+tj];///a[ii][jj] ///sum of a[i][j] -> a[ii][jj]
}
mm = max(sum,mm);
}
}
}
}
cout<<__FUNCTION__<<": "<<mm<<endl;
return m;
}
int main()
{
int n = sizeof(c)/sizeof(int);
int a[100];
reset(a,n);
maxSum_1(a,n);
maxSum_3(a,n);
maxSubMatrix(e,4,4);
maxSubMatrix_BF(e,4,4);
return 0;
}
結果：
[plain]
maxSum_1 : 18
maxSum_3 : 18
maxSubMatrix : 17
maxSubMatrix_BF: 17
Process returned 0 (0x0) execution time : 0.296 s
Press any key to continue.
maxSum_1 : 18
maxSum_3 : 18
maxSubMatrix : 17
maxSubMatrix_BF: 17
Process returned 0 (0x0) execution time : 0.296 s
Press any key to continue.
