拓撲排序[理論]

什麼是拓撲序列
通常，這樣的線性序列稱為滿足拓撲次序(Topological Order)的序列，簡稱拓撲序列。簡單的說，由某個集合上的一個偏序得到該集合上的一個全序，這個操作稱之為拓撲排序。離散數學中關於偏序和全序的定義：
若集合X上的關系是R,且R是自反的、反對稱的和傳遞的，則稱R是集合X上的偏序關系。
設R是集合X上的偏序（Partial Order）,如果對每個x,y屬於X必有xRy 或 yRx，則稱R是集合X上的全序關系。

比較簡單的理解：偏序是指集合中只有部分成員可以比較，全序是指集合中所有的成員之間均可以比較。
注意：
①若將圖中頂點按拓撲次序排成一行，則圖中所有的有向邊均是從左指向右的。
②若圖中存在有向環，則不可能使頂點滿足拓撲次序。
③一個DAG的拓撲序列通常表示某種方案切實可行。
一般應用
拓撲排序常用來確定一個依賴關系集中，事物發生的順序。例如，在日常工作中，可能會將項目拆分成A、B、C、D四個子部分來完成，但A依賴於B和D，C依賴於D。為了計算這個項目進行的順序，可對這個關系集進行拓撲排序，得出一個線性的序列，則排在前面的任務就是需要先完成的任務。
實現的基本方法
拓撲排序方法如下:
(1)從有向圖中選擇一個沒有前驅(即入度為0)的頂點並且輸出它.
(2)從網中刪去該頂點,並且刪去從該頂點發出的全部有向邊.
(3)重復上述兩步,直到剩余的網中不再存在沒有前趨的頂點為止.

拓撲序列 C++核心代碼

bool TopologicalSort(int a[][101]) //可以完成拓撲排序則返回True
{
    int n = a[0][0], i, j;
    int into[101], ans[101];
    memset(into, 0, sizeof(into));
    memset(ans, 0, sizeof(ans));
    for (i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (a[i][j] > 0)//鄰接矩陣
            into[j]++;//統計入度
        }
    }
    into[0] = 1;
    for (i = 1; i <= n; i++)
    {
        j = 0;
        while (into[j] != 0)//遍歷,直到找到一個入度為零的點
        {
            j++;
            if (j > n)
                return false;
        }
        ans[i] = j;//該點已排序
        into[j] = -1;//刪除該點
        for (int k = 1; k <= n; k++)
        {
            if (a[j][k] > 0)
            into[k]--;//刪除與之相連的邊進入的點的入度
        }
    }
    for (i = 1; i <= n; i++)
    {
        cout << ans[i] << " ";
    }
    cout << endl;
    return true;
}