線段樹講解（數據結構、C++）

線段樹作為一種十分常用的數據結構，在NOIP、NOI中廣泛的出現，所以在這裡對線段樹進行簡單的講解。       線段樹支持對一個數列的求和、單點修改、求最值（最大、最小）、區間修改（需要lazy標記，暫不講解）。這幾種操作，時間復雜度是（logn）級別的，是一種十分優秀的數據結構。因此其獲得了廣泛的應用。   定義：顧名思義，它是一種樹形結構，但每段不是平常所學的一個點一個點的樹，而是一條一條的線段，每條線段包含著一些值，其中最主要的是起始和結束點記作 l，r 即左端點和右端點。     那麼該如何劃分線段樹呢？我們采用二分的思想，即每次將一段取半，再進行接下來的操作，這樣綜合了操作的方便程度和時間復雜度。因為線段樹通過二分得來，所以線段樹是一顆二叉樹。這也方便了對兒子查找。下面是線段樹的圖，有利於理解：   2012042202502850   建樹：僅僅知道模型還是不夠的，建樹的過程是線段樹的關鍵（build(1,1,n)）從一號開始，左端是1，右端是n   位運算 i<<1 等效於 i/2  (i<<1)|1 等效於  i/2+1  加速。。。         

inline void update(int i)更新i節點維護的值（求和，最大……） 
{ 
    node[i].sum=node[i<<1].sum+node[(i<<1)|1].sum; 
    node[i].maxx=max(node[i<<1].maxx,node[(i<<1)|1].maxx); 
}

inline void build(int i,int l,int r)//inline 還是加速 
{
       node[i].l=l;node[i].r=r;//左右端點為當前遞歸到的 l 和 r    
       if(l==r){//若l==r 則當前的樹節點是真正意義上的點 
         node[i].maxx=a[l];//最大值就是本身的值 
         node[i].sum=a[l];//區間的和就是本身的值 
        return;
       }
       int mid=(l+r)/2;//因為是二叉樹所以以中點為分割點 
       build(i<<1,l,mid);//根據二叉樹的知識，左兒子是i/2右兒子是i/2+1 
       build((i<<1)|1,mid+1,r);
       update(i);
}
 

 

  數列求和：這是線段樹的一個典型算法，其他的很多應用都是從中轉化的。   為了求和我們定義一個函數sum(int i,int l,int r) i 是開始的樹節點，我們默認為1。l 是區間的開始點，它的標號是在數列中的標號，r 是結束點其余同 l。帖下代碼：    

inline int sum(int i,int l,int r)//inline 又是加速   
{                                                 
  if(node[i].l==l&&node[i].r==r)
    return node[i].sum;//若樹節點的左右區間與查找區間相同，返回其維護的sum  
  int mid=(node[i].l+node[i].r)/2;//確定該樹節點的中點以確定繼續查找左兒子還是右兒子     
  if(r<=mid) return sum(i<<1,l,r);//若查找區間最右端小於中點，則該區間完全包含於左兒子中 
    else if(l>mid) return sum((i<<1)|1,l,r);//最左端大於中點，查找右兒子 
      else return sum(i<<1,l,mid)+sum((i<<1)|1,mid+1,r)
      //若跨越中點，查找左兒子 l 到 mid ,和右兒子的 mid+1 到 r 並返回值 
}
 

 

區間求最值和區間求和大致相同，自己看一下    

inline int Max(int i,int l,int r)
{
    if(node[i].l==l&&node[i].r==r)
     return node[i].maxx;
    int mid=(node[i].l+node[i].r)/2;
    if(r<=mid) return Max(i<<1,l,r);
      else if(l>mid) return Max((i<<1)|1,l,r);
        else return max(Max(i<<1,l,mid),Max((i<<1)|1,mid+1,r));
}
 

 

單點更新：和區間不同，但基本思想還是一樣的。    

inline void add(int i,int k,int v)//當前計算到的點為i，把數列中的第k個元素加v
{
    if(node[i].l==k&&node[i].r==k){//因為更改的單點，所以左右端點均和k相等
        node[i].sum+=v;
        node[i].maxx+=v;
        return;
    }
    int mid=(node[i].l+node[i].r)/2;
    if(k<=mid) add(i<<1,k,v);//若k小於mid則k在樹節點i的左子樹中
     else add((i<<1)|1,k,v);//反之
    update(i);//更新
}

 

  最後貼下全部的代碼基本可以做模板了。。    

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
struct tree{
    int l,r,sum,maxx;
};
tree node[100];
int n,m,a[100];
inline void update(int i)
{
    node[i].sum=node[i<<1].sum+node[(i<<1)|1].sum;
    node[i].maxx=max(node[i<<1].maxx,node[(i<<1)|1].maxx);
}

inline void build(int i,int l,int r)
{
    node[i].l=l;node[i].r=r;
    if(l==r){
      node[i].maxx=a[l];
      node[i].sum=a[l];
      return;
    } 
    int mid=(l+r)/2;
    build(i<<1,l,mid);
    build((i<<1)|1,mid+1,r);
    update(i);
}

inline void add(int i,int k,int v)
{
    if(node[i].l==k&&node[i].r==k){
        node[i].sum+=v;
        node[i].maxx+=v;
        return;
    }
    int mid=(node[i].l+node[i].r)/2;
    if(k<=mid) add(i<<1,k,v);
     else add((i<<1)|1,k,v);
    update(i);
}

inline int sum(int i,int l,int r)
{
    if(node[i].l==l&&node[i].r==r)
     return node[i].sum;
    int mid=(node[i].l+node[i].r)/2;
    if(r<=mid) return sum(i<<1,l,r);
     else if(l>mid) return sum((i<<1)|1,l,r);
       else return sum(i<<1,l,mid)+sum((i<<1)|1,mid+1,r);
}

inline int Max(int i,int l,int r)
{
    if(node[i].l==l&&node[i].r==r)
     return node[i].maxx;
    int mid=(node[i].l+node[i].r)/2;
    if(r<=mid) return Max(i<<1,l,r);
      else if(l>mid) return Max((i<<1)|1,l,r);
        else return max(Max(i<<1,l,mid),Max((i<<1)|1,mid+1,r));
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d",&a[i]);
    build(1,1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int c,a,b;
        scanf("%d%d%d",&c,&a,&b);
        if(c==1) printf("%d\n",sum(1,a,b));
          else if(c==2) add(1,a,b);
            else if(c==3) printf("%d\n",Max(1,a,b));
    }    
}