通過前面的學習,我們知道,有序數組可以利用二分查找法快速的查找特定的值,時間復雜度為O(log2N),但是插入數據時很慢,時間復雜度為O(N);鏈表的插入和刪除速度都很快,時間復雜度為O(1),但是查找特定值很慢,時間復雜度為O(N)。
那麼,有沒有一種數據結構既能像有序數組那樣快速的查找數據,又能像鏈表那樣快速的插入數據呢?樹就能滿足這種要求。不過依然是以算法的復雜度為代價
在編程的世界裡,有一個真理叫“復雜度守恆定律”(當然,這是我杜撰的),一個程序當它降低了一個方面的復雜度,必然會在其他方面增加復雜度。這就跟談戀愛一樣,也沒有無緣無故的愛,沒有無緣無故的恨,當你跟程序談戀愛時,沒有無緣無故的易用性,也沒有無緣無故的復雜度
樹的相關概念
我們先從廣義上來討論一下樹的概念
樹其實是范疇更廣的圖的特例
下面是一個普通的非二叉樹
在程序中,節點一般用來表示實體,也就是數據結構裡存儲的那些數據項,在java這樣的面向對象的編程語言中,常用節點來表示對象
節點間的邊表示關聯節點間的路徑,沿著路徑,從一個節點到另一個節點很容易,也很快,在樹中,從一個節點到另一個節點的唯一方法就是順著邊前進。java語言中,常用引用來表示邊(C/C++中一般使用指針)
樹的頂層總是只有一個節點,它通過邊連接到第二層的多個節點,然後第二層也可以通過邊連接到第三層,以此類推。所以樹的頂部小,底部大,呈倒金字塔型,這和現實世界中的樹是相反的
如果樹的每個節點最多有兩個子節點,則稱為二叉樹。如果節點的子節點可以多余兩個,稱為多路樹
有很多關於樹的術語,在這裡不做過多的文字解釋,下面給出一個圖例,通過它可以直觀地理解樹的路徑、根、父節點、子節點、葉節點、子樹、層等概念
需要注意的是,從樹的根到任意節點有且只有一條路徑可以到達,下圖所示就不是一棵樹,它違背了這一原則
二叉搜索樹
我們從一種特殊的、使用很廣泛的二叉樹入手:二叉搜索樹。
二叉搜索樹的特點是,一個節點的左子節點的關鍵字值小於這個節點,右子節點的關鍵字值大於或等於這個父節點。下圖就是一個二叉搜索樹的示例:
關於樹,還有一個平衡樹與非平衡樹的概念。非平衡就是說樹的大部分節點在根的一邊,如下圖所示:
樹的不平衡是由數據項插入的順序造成的。如果關鍵字是隨機插入的,樹會更趨向於平衡,如果插入順序是升序或者降序,則所有的值都是右子節點或左子節點,這樣生成的樹就會不平衡了。非平衡樹的效率會嚴重退化
接下來我們就用java語言實現一個二叉搜索樹,並給出查找、插入、遍歷、刪除節點的方法
首先要有一個封裝節點的類,這個類包含節點的數據以及它的左子節點和右子節點的引用
//樹節點的封裝類 public class Node { int age; String name; Node leftChild; //左子節點的引用 Node rightChild; //右子節點的引用 public Node(int age,String name){ this.age = age; this.name = name; } //打印該節點的信息 public void displayNode(){ System.out.println("name:"+name+",age:"+age); } }
以上age,name兩個屬性用來代表該節點存儲的信息,更好的方法是將這些屬性封裝成一個對象,例如:
Person{ private int age; private String name; public void setAge(int age){ this.age = age; } public int getAge(){ return this.age; } public void setName(String name){ this.name = name; } public String getName(){ return this.name; } }
這樣做才更符合“面向對象”的編程思想。不過現在我們的重點是數據結構而非編程思想,所以在程序中簡化了由於樹的結構和算法相對復雜,我們先逐步分析一下查找、插入等操作的思路,然後再寫出整個的java類
查找
我們已經知道,二叉搜索樹的特點是左子節點小於父節點,右子節點大於或等於父節點。查找某個節點時,先從根節點入手,如果該元素值小於根節點,則轉向左子節點,否則轉向右子節點,以此類推,直到找到該節點,或者到最後一個葉子節點依然沒有找到,則證明樹中沒有該節點
比如我們要在樹中查找57,執行的搜索路線如下圖所示:
插入
插入一個新節點首先要確定插入的位置,這個過程類似於查找一個不存在的節點。如下圖所示:
找到要插入的位置之後,將父節點的左子節點或者右子節點指向新節點即可
遍歷
遍歷的意思是根據一種特定順序訪問樹的每一個節點
有三種簡單的方法遍歷樹:前序遍歷、中序遍歷、後序遍歷。二叉搜索樹最常用的方法是中序遍歷,中序遍歷二叉搜索樹會使所有的節點按關鍵字升序被訪問到
遍歷樹最簡單的方法是遞歸。用該方法時,只需要做三件事(初始化時這個節點是根):
1、調用自身來遍歷節點的左子樹
2、訪問這個節點
3、調用自身來遍歷節點的右子樹
遍歷可以應用於任何二叉樹,而不只是二叉搜索樹。遍歷的節點並不關心節點的關鍵字值,它只看這個節點是否有子節點
下圖展示了中序遍歷的過程:
對於每個節點來說,都是先訪問它的左子節點,然後訪問自己,然後在訪問右子節點
如果是前序遍歷呢?就是先訪問父節點,然後左子節點,最後右子節點;同理,後序遍歷就是先訪問左子節點,在訪問右子節點,最後訪問父節點。所謂的前序、中序、後序是針對父節點的訪問順序而言的
查找最值
在二叉搜索樹中,查找最大值、最小是是很容易實現的,從根循環訪問左子節點,直到該節點沒有左子節點為止,該節點就是最小值;從根循環訪問右子節點,直到該節點沒有右子節點為止,該節點就是最大值
下圖就展示了查找最小值的過程:
<喎?/kf/ware/vc/" target="_blank" class="keylink">vcD4KPHAgY2xhc3M9"MsoNormal">刪除節點
樹的刪除節點操作是最復雜的一項操作。該操作需要考慮三種情況考慮:
1、該節點沒有子節點
2、該節點有一個子節點
3、該節點有兩個子節點
第一種沒有子節點的情況很簡單,只需將父節點指向它的引用設置為null即可:
第二種情況也不是很難,這個節點有兩個連接需要處理:父節點指向它的引用和它指向子節點的引用。無論要刪除的節點下面有多復雜的子樹,只需要將它的子樹上移:
還有一種特殊情況需要考慮,就是要刪除的是根節點,這時就需要把它唯一的子節點設置成根節點
下面來看最復雜的第三種情況:要刪除的節點由連個子節點。顯然,這時候不能簡單地將子節點上移,因為該節點有兩個節點,右子節點上移之後,該右子節點的左子節點和右子節點又怎麼安排呢?
這是應該想起,二叉搜索樹是按照關鍵升序排列,對每一個關鍵字來說,比它關鍵字值高的節點是它的中序後繼,簡稱後繼。刪除有兩個子節點的節點,應該用它的中序後繼來替代該節點
上圖中,我們先列出中序遍歷的順序:
5 15 20 25 30 35 40
可以看到,25的後繼是35,所以應該用30來替代25的位置。實際上就是找到比欲刪除節點的關鍵字值大的集合中的最小值。從樹的結構上來說,就是從欲刪除節點的右子節點開始,依次跳到下一層的左子節點,直到該左子節點沒有左子節點為止。下圖就是找後繼節點的示例:
從上圖中可以看到,後集結點有兩種情況:一種是欲刪除節點的右子節點沒有左子節點,那麼它本身就是後繼節點,此時,只需要將以此後繼節點為根的子樹移到欲刪除節點的位置:
另一種情況是欲刪除節點的右子節點有左子節點,這種情況就比較復雜,下面來逐步分析。首先應該意識到,後繼節點是肯定沒有左子節點的,但是可能會有右子節點
上圖中,75為欲刪除節點,77為它的後繼節點,樹變化的步驟如下:
1、把87的左子節點設置為79;
2、把77的右子節點設為以87為根的子樹;
3、把50的右子節點設置為以77為根的子樹;
4、把77的左子節點設置為62
到此為止,刪除操作終於分析完畢,包含了所有可能出現的情況。可見,二叉樹的刪除是一件非常棘手的工作,那麼我們就該反思了,刪除是必須要做的任務嗎?有沒有一種方法避開這種煩人的操作?有困難要上,沒有困難創造困難也要上的二貨精神是不能提倡的
在刪除操作不是很多的情況下,可以在節點類中增加一個布爾字段,來作為該節點是否已刪除的標志。在進行其他操作,比如查找時,之前對該節點是否已刪除進行判斷。這種思路有點逃避責任,但是在很多時候還是很管用的。本例中為了更好的深入理解二叉樹,會采用原始的、復雜的刪除方法
下面我們就根據上面的分析,寫出一個完整的二叉搜索樹類,該類中,如果有重復值,插入到右子節點,查找時也只返回第一個找到的節點
import java.util.ArrayList; import java.util.List; //二叉搜索樹的封裝類 public class BinaryTree { private Node root; //根節點 public BinaryTree(){ root = null; } //按關鍵字查找節點 public Node find(int key){ Node cur = root; //從根節點開始查找 if(cur == null){ //如果樹為空,直接返回null return null; } while(cur.age != key){ if(cur.age < key){ cur = cur.leftChild; //如果關鍵字比當前節點小,轉向左子節點 }else{ cur = cur.leftChild; //如果關鍵字比當前節點大,轉向右子節點 } if(cur == null){ //沒有找到結果,搜索結束 return null; } } return cur; } //插入新節點 public void insert(Node node){ if(root == null){ root = node; //如果樹為空,則新插入的節點為根節點 }else{ Node cur = root; while(true){ if(node.age < cur.age){ if(cur.leftChild == null){ //找到了要插入節點的父節點 cur.leftChild = node; return; } cur = cur.leftChild; }else{ if(cur.rightChild == null){ //找到了要插入節點的父節點 cur.rightChild = node; return; } cur = cur.rightChild; } } } } //刪除指定節點 public boolean delete(Node node){ if(root == null){ return false; //如果為空樹,直接返回false } boolean isLeftChild = true; //記錄目標節點是否為父節點的左子節點 Node cur= root; //要刪除的節點 Node parent = null; //要刪除節點的父節點 while(cur.age != node.age){ //確定要刪除節點和它的父節點 parent = cur; if(node.age < cur.age){ //目標節點小於當前節點,跳轉左子節點 cur = cur.leftChild; }else{//目標節點大於當前節點,跳轉右子節點 isLeftChild = false; cur = cur.rightChild; } if(cur == null){ return false; //沒有找到要刪除的節點 } } if(cur.leftChild == null && cur.rightChild == null){ //目標節點為葉子節點(無子節點) if(cur == root){ //要刪除的為根節點 root = null; }else if(isLeftChild){ //要刪除的不是根節點,則該節點肯定有父節點,該節點刪除後,需要將父節點指向它的引用置空 parent.leftChild = null; }else{ parent.rightChild = null; } }else if(cur.leftChild == null){ //只有一個右子節點 if(cur == root){ root = cur.rightChild; }else if(isLeftChild){ parent.leftChild = cur.rightChild; }else{ parent.rightChild = cur.rightChild; } }else if(cur.rightChild == null){ //只有一個左子節點 if(cur == root){ root = cur.leftChild; }else if(isLeftChild){ parent.leftChild = cur.leftChild; }else{ parent.rightChild = cur.leftChild; } }else{ //有兩個子節點 //第一步要找到欲刪除節點的後繼節點 Node successor = cur.rightChild; Node successorParent = null; while(successor.leftChild != null){ successorParent = successor; successor = successor.leftChild; } //欲刪除節點的右子節點就是它的後繼,證明該後繼無左子節點,則將以後繼節點為根的子樹上移即可 if(successorParent == null){ if(cur == root){ //要刪除的為根節點,則將後繼設置為根,且根的左子節點設置為欲刪除節點的做左子節點 root = successor; root.leftChild = cur.leftChild; }else if(isLeftChild){ parent.leftChild = successor; successor.leftChild = cur.leftChild; }else{ parent.rightChild = successor; successor.leftChild = cur.leftChild; } }else{ //欲刪除節點的後繼不是它的右子節點 successorParent.leftChild = successor.rightChild; successor.rightChild = cur.rightChild; if(cur == root){ root = successor; root.leftChild = cur.leftChild; }else if(isLeftChild){ parent.leftChild = successor; successor.leftChild = cur.leftChild; }else{ parent.rightChild = successor; successor.leftChild = cur.leftChild; } } } return true; } public static final int PREORDER = 1; //前序遍歷 public static final int INORDER = 2; //中序遍歷 public static final int POSTORDER = 3; //中序遍歷 //遍歷 public void traverse(int type){ switch(type){ case 1: System.out.print("前序遍歷:\t"); preorder(root); System.out.println(); break; case 2: System.out.print("中序遍歷:\t"); inorder(root); System.out.println(); break; case 3: System.out.print("後序遍歷:\t"); postorder(root); System.out.println(); break; } } //前序遍歷 public void preorder(Node currentRoot){ if(currentRoot != null){ System.out.print(currentRoot.age+"\t"); preorder(currentRoot.leftChild); preorder(currentRoot.rightChild); } } //中序遍歷,這三種遍歷都用了迭代的思想 public void inorder(Node currentRoot){ if(currentRoot != null){ inorder(currentRoot.leftChild); //先對當前節點的左子樹對進行中序遍歷 System.out.print(currentRoot.age+"\t"); //然後訪問當前節點 inorder(currentRoot.rightChild); //最後對當前節點的右子樹對進行中序遍歷 } } //後序遍歷 public void postorder(Node currentRoot){ if(currentRoot != null){ postorder(currentRoot.leftChild); postorder(currentRoot.rightChild); System.out.print(currentRoot.age+"\t"); } } //私有方法,用迭代方法來獲取左子樹和右子樹的最大深度,返回兩者最大值 private int getDepth(Node currentNode,int initDeep){ int deep = initDeep; //當前節點已到達的深度 int leftDeep = initDeep; int rightDeep = initDeep; if(currentNode.leftChild != null){ //計算當前節點左子樹的最大深度 leftDeep = getDepth(currentNode.leftChild, deep+1); } if(currentNode.rightChild != null){ //計算當前節點右子樹的最大深度 rightDeep = getDepth(currentNode.rightChild, deep+1); } return Math.max(leftDeep, rightDeep); } //獲取樹的深度 public int getTreeDepth(){ if(root == null){ return 0; } return getDepth(root,1); } //返回關鍵值最大的節點 public Node getMax(){ if(isEmpty()){ return null; } Node cur = root; while(cur.rightChild != null){ cur = cur.rightChild; } return cur; } //返回關鍵值最小的節點 public Node getMin(){ if(isEmpty()){ return null; } Node cur = root; while(cur.leftChild != null){ cur = cur.leftChild; } return cur; } //以樹的形式打印出該樹 public void displayTree(){ int depth = getTreeDepth(); ArrayListcurrentLayerNodes = new ArrayList (); currentLayerNodes.add(root); //存儲該層所有節點 int layerIndex = 1; while(layerIndex <= depth){ int NodeBlankNum = (int)Math.pow(2, depth-layerIndex)-1; //在節點之前和之後應該打印幾個空位 for(int i = 0;i (); Node parentNode; for(int i=0;i
displayTree方法按照樹的形狀打印該樹。對一顆深度為3的二叉樹的打印效果如下圖所示: