樹
因為現實世界中存在這“樹”這種結構——族譜、等級制度、目錄分類等等，而為了研究這類問題，必須能夠將樹儲存，而如何儲存將取決於所需要的操作。這裡有個問題，是否允許存在空樹。有些書認為樹都是非空的，因為樹表示的是一種現實結構，而0不是自然數；我用過的教科書都是說可以有空樹，當然是為了和二叉樹統一。這個沒有什麼原則上的差別，反正就是一種習慣。
二叉樹
二叉樹可以說是人們假想的一個模型，因此，允許有空的二叉樹是無爭議的。二叉樹是有序的，左邊有一個孩子和右邊有一個的二叉樹是不同的兩棵樹。做這個規定，是因為人們賦予了左孩子和右孩子不同的意義，在二叉樹的各種應用中，你將會清楚的看到。下面只講解鏈式結構。看各種講數據結構的書，你會發現一個有趣的現象：在二叉樹這裡，基本操作有計算樹高、各種遍歷，就是沒有插入、刪除——那樹是怎麼建立起來的？其實這很好理解，對於非線性的樹結構，插入刪除操作不在一定的法則規定下，是毫無意義的。因此，只有在具體的應用中，才會有插入刪除操作。
節點結構
數據域、左指針、右指針肯定是必須的。除非很少用到節點的雙親，或者是資源緊張，建議附加一個雙親指針，這將會給很多算法帶來方便，尤其是在這個“空間換時間”的時代。
template <class T>
struct BTNode
{
BTNode(T data = T(), BTNode<T>* left = NULL, BTNode<T>* right = NULL, BTNode<T>* parent = NULL)
: data(data), left(left), right(right), parent(parent) {}
BTNode<T> *left, *right, *parent;
T data;
};
基本的二叉樹類
template <class T>
class BTree
{
public:
BTree(BTNode<T> *root = NULL) : root(root) {}
~BTree() { MakeEmpty(); }
void MakeEmpty() { destroy(root); root = NULL; }
protected:
BTNode<T> *root；
private:
void destroy(BTNode<T>* p)
{
if (p)
{
destroy(p->left);
destroy(p->right);
delete p;
}
}
}
二叉樹的遍歷
基本上有4種遍歷方法，先、中、後根，逐層。當初我對這個很迷惑，搞這麼多干什麼？到了後面才明白，這是不同的應用需要的。例如，判斷兩個二叉樹是否相等，只要子樹根節點不同，那麼就不等，顯然這時要用先序遍歷；而刪除二叉樹，必須先刪除左右子樹，然後才能刪除根節點，這時就要用後序遍歷。
實際上，搞這麼多遍歷方法，根本原因是在內存中儲存的樹是非線性結構。對於用數組儲存的二叉樹，這些名目繁多的方法都是沒有必要的。利用C++的封裝和重載特性，這些遍歷方法能很清晰的表達。
1. 前序遍歷
public:
void PreOrder(void (*visit)(T &data) = print) { PreOrder(root, visit); }
private:
void PreOrder(BTNode<T>* p, void (*visit)(T &data))
{
if (p){ visit(p->data); PreOrder(p->left, visit); PreOrder(p->right, visit); }
}
2. 中序遍歷
public:
void InOrder(void (*visit)(T &data) = print) { InOrder(root, visit); }
private:
void InOrder(BTNode<T>* p, void (*visit)(T &data))
{
if (p){ InOrder(p->left, visit); visit(p->data); InOrder(p->right, visit); }
}
3. 後序遍歷
public:
void PostOrder(void (*visit)(T &data) = print) { PostOrder(root, visit); }
private:
void PostOrder(BTNode<T>* p, void (*visit)(T &data))
{
if (p){ PostOrder(p->left, visit); PostOrder(p->right, visit); visit(p->data); }
}
4. 層次遍歷
void LevelOrder(void (*visit)(T &data) = print)
{
queue< BTNode<T>* > a; BTNode<T>* p = root;//記得#include<queue>
while (p)
{
visit(p->data);
if (p->left) a.push(p->left); if (p->right) a.push(p->right);
if (a.empty()) break; p = a.front(); a.pop();
}
}
附注：缺省的visit函數print如下
private:
static void print(T &data) { cout << data << ' ';｝
5. 不用棧的非遞歸中序遍歷
當有parent指針時，可以不用棧實現非遞歸的中序遍歷，書上提到了有這種方法，但沒給出例程。
public:
BTNode<T>* next()
{
if(!current) return NULL;
if (current->right) { current = current->right; while (current->left) current = current->left; }
else
{
BTNode<T>* y = current->parent;
while (y && current == y->right) {current = y; y = y->parent; }
current = y;
}
return current;
}
private:
BTNode<T>* current;
上面的函數能使current指針向前移動一個位置，如果要遍歷整棵二叉樹，需要使current指向中序序列的第一個節點，例如下面的成員函數：
public:
void first() { current = root; while (current->left) current = current->left; }
線索化二叉樹
這是數據結構課程裡第一個碰到的難點，不知道你是不是這樣看，反正我當初是費了不少腦細胞——當然，惱人的矩陣壓縮和相關的加法乘法運算不在考慮之列。我費了不少腦細胞是因為思考：他們干什麼呢？很欣喜的看到在這本黃皮書上，這章被打了*號，雖然我不確定作者是不是跟我一個想法——線索化二叉樹在現在的PC上是毫無用處的！——不知我做了這個結論是不是會被人罵死。
為了證明這個結論，我們來看看線索化二叉樹提出的緣由：第一，我們想用比較少的時間，尋找二叉樹某一個遍歷線性序列的前驅或者後繼。當然，這樣的操作很頻繁的時候，做這方面的改善才是有意義的。第二，二叉樹的葉子節點還有兩個指針域沒有用，可以節省內存。說真的，提出線索化二叉樹這樣的構思真的很精巧，完全做到了“廢物利用”——這個人真應該投身環保事業。但在計算機這個死板的東西身上，人們的精巧構思往往都是不能實現的——為了速度，計算機的各個部件都是整齊劃一的，而構思的精巧往往都是建立在組成的復雜上的。
我們來看看線索化二叉樹究竟能不能達到上面的兩個目標。
求遍歷後的線性序列的前驅和後繼。前序線索化能依次找到後繼，但是前驅需要求雙親；中序線索化前驅和後繼都不需要求雙親，但是都不很直接；後序線索化能依次找到前驅，但是後繼需要求雙親。可以看出，線索化成中序是最佳的選擇，基本上算是達到了要求。
節省內存。添加了兩個標志位，問題是這兩個位怎麼儲存？即使是在支持位存儲的CPU上，也是不能拿位存儲器來存的，第一是因為結構體成員的地址是在一起的，第二是位存儲器的數目是有限的。因此，最少需要1個字節來儲存這兩個標志位。而為了速度和移植，一般來說，內存是要對齊的，實際上根本就沒節省內存！然而，當這個空間用來儲存雙親指針時，帶來的方便絕對不是線索化所能比擬的，前面已經給出了無棧的非遞歸遍歷。並且，在線索化二叉樹上插入刪除操作附加的代價太大。
綜上，線索化最好是中序線索化（前序後序線索化後還得用棧，何必要線索化呢），附加的標志域空間至少1個字節，在32位的CPU會要求對齊到4字節，還不如存儲一個雙親指針，同樣能達到中序線索化的目的，並且能帶來其他的好處。所以，線索化二叉樹在現在的PC上是毫無用處的！
由於對其他體系不太了解，以下觀點姑妄聽之。在內存空間非常充裕的現在，一個節點省2～3個字節實在是沒什麼意思（實際上由於對齊還省不出來）；而在內存非常寶貴的地方（比如單片機），會盡量避免使用樹結構——利用其他的方法。所以，現在看來，線索化二叉樹真的是毫無用處了。
二叉搜索樹
這恐怕是二叉樹最重要的一個應用了。它的構想實際是個很自然的事情——查找值比當前節點小轉左，大轉右，等則查到，到頭了就是沒找著。越自然的東西越好理解，也就越不需要我廢話。在給出BST的實現之前，我們要在二叉樹的類中添加一個打印樹狀結構的成員函數，這樣，就能清楚的看出插入和刪除過程。
public:
void print()
{
queue< BTNode<T>* > a; queue<bool> flag; ofstream outfile("out.txt");
BTNode<T>* p = root; BTNode<T> zero; bool v = true;
int i = 1, level = 0, h = height();
while (i < 2<<h)
{
if (i == 1<<level)
{
cout << endl << setw(2 <<(h - level)); level++;
if (v) cout << p->data;
else cout << ' ';
}
else
{
cout << setw(4 <<(h - level + 1));
if (v) cout << p->data;
else cout << " ";
}
if (p->left) { a.push(p->left); flag.push(true); }
else { a.push(&zero); flag.push(false); }
if (p->right) { a.push(p->right); flag.push(true); }
else { a.push(&zero); flag.push(false); }
p = a.front(); a.pop(); v = flag.front(); flag.pop(); i++;
}
cout << endl;
}
打印樹狀結構的核心是按層次遍歷二叉樹，但是，二叉樹有許多節點缺左或右子樹，連帶的越到下面空隙越大。為了按照樹的結構打印，必須把二叉樹補成完全二叉樹，這樣下面的節點就知道放在什麼位置了——a.push(&zero);但是這樣的節點不能讓它打印出來，所以對應每個節點，有一個是否打印的標志，按理說pair結構很合適，為了簡單我用了並列的兩個隊列，一個放節點指針——a，一個放打印標志——flag。這樣一來，循環結束的標志就不能是隊列空——永遠都不可能空，碰到NULL就補一個節點——而是變成了到了滿二叉樹的最後一個節點2^(height+1)-1。——黃皮書對於樹高的定義是，空樹為的高度為－1。
對於輸出格式，注意的是到了第1、2、4、8號節點要換行，並且在同一行中，第一個節點的域寬是後序節點的一半。上面的函數在樹的層次少於等於5（height<=4）的時候能正常顯示，再多的話就必須輸出到文件中去ofstream outfile("out.txt");——如果層次再多的話，打印出來也沒什麼意義了。
二叉搜索樹的實現
實際上就是在二叉樹的基礎上增加了插入、刪除、查找。
#include "BaseTree.h"
template <class T>
class BSTree : public BTree<T>
{
public:
BTNode<T>* &find(const T &data)
{
BTNode<T>** p = &root; current = NULL;
while(*p)
{
if ((*p)->data == data) break;
if ((*p)->data < data) { current = *p; p = &((*p)->right); }
else { current = *p; p = &((*p)->left); }
}
return *p;
}
bool insert(const T &data)
{
BTNode<T>* &p = find(data); if (p) return false;
p = new BTNode<T>(data, NULL, NULL, current); return true;
}
bool remove(const T &data)
{
return remove(find(data));
}
private:
bool remove(BTNode<T>* &p)
{
if (!p) return false; BTNode<T>* t = p;
if (!p->left || !p->right)
{
if (!p->left) p = p->right; else p = p->left;
if (p) p->parent = current;
delete t; return true;
}
t=p->right;while(t->left) t=t->left;p->data=t->data;current=t->parent;
return remove(current->left==t?current->left:current->right);
}
};
以上代碼有點費解，有必要說明一下——非線性鏈式結構操作的實現都是很讓人費神。insert和remove都是以find為基礎的，因此必須讓find能最大限度的被這兩個操作利用。
1、對於insert，需要修改查找失敗時的指針內容，顯然這是個內部指針（在雙親節點的內部，而不是象root和current那樣在節點外面指向節點），這就要求find返回一個內部指針的引用。但是C++的引用綁定到一個對象之後，就不能再改變了，因此在find內部的實現是一個二重指針。insert操作還需要修改插入的新節點的parent指針域，因此在find中要產生一個能被insert訪問的指向find返回值所在節點的指針，這裡用的是current。實際上find返回的指針引用不是current->left就是current->right。這樣一來，insert的實現就非常簡單了。
2、對於remove，需要修改查找成功時的指針內容，同樣是個內部指針。在find的基礎上，很容易就能得到這個內部指針的引用(BTNode<T>* &p = find(data)。
在p->left和p->right中至少有一個為NULL的情況下，如果p->left ==NULL，那麼就重連右子樹p = p->right，反之，重連左子樹p = p->left。注意，左右子樹全空的情況也包含在這兩個操作中了——在p->left ==NULL的時候重連右子樹，而這時p->right也是NULL——因此不必列出來。如果重連後p不為空，需要修改p->parent = current。
若p->left和p->right都不為空，可以轉化為有一個為空。例如一個中序有序序列[1,2,3,4,5]，假設3既有左子樹又有右子樹，那麼它的前驅2一定缺右子樹，後繼4一定缺少左子樹。【注1】這樣一來刪除節點3就等效成從[1,2,3(4),4,5]刪除節點4。這樣就可以利用上面的在p->left和p->right中至少有一個為NULL的情況下的方法了。還是由於C++的引用不能改變綁定對象，這裡是用利用遞歸來解決的，還好最多只遞歸一次。如果用二重指針又是滿天星星了，這就是明明是尾遞歸卻沒有消去的原因。
【注1】這是因為，如果3既有左子樹又有右子樹，那麼2一定在3的左子樹上，4一定在3的右子樹上；如果2有右子樹，那麼在2和3之間還應該有一個節點；如果4有左子樹，那麼3和4之間也應該還有一個節點。
【閒話】上面關於remove操作p->left和p->right都不為空的處理方法的講解，源於嚴蔚敏老師的課件，看完後我豁然開朗，真不知道為什麼她自己那本《數據結構（C語言版）》這裡寫的那麼難懂，我是死活沒看明白。
遞歸遍歷與非遞歸遍歷
在沒有樹的慨念，對遞歸的理解總是很困難，因為不能提出有說服力的例子，只是闡述了“遞歸是一種思想”。但只要能能讓你建立“遞歸是一種思想”這個觀念，我的努力就沒有白費。現在，講完了二叉搜索樹，終於有了能說明問題的例子了。按照前面提供的代碼，應該能調試通過下面的程序。
#include <iostream>
using namespace std;
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include "BSTree.h"
#include "Timer.h"
#define random(num) (rand() % (num))
#define randomize() srand((unsigned)time(NULL))
#define NODENUM 200000//node number
int data[NODENUM];
void zero(int &t) { t = 0; }
int main()
{
BSTree<int> a; Timer t; randomize(); int i;
for (i = 0; i < NODENUM; i++) data[i] = i;
for (i = 0; i < NODENUM; i++) swap(data[i], data[random(NODENUM)]);//random swap
t.start(); for (i = 0; i < NODENUM; i++) a.insert(data[i]);
cout << "Insert time: " << t.GetTime() << "\tNode number: " << NODENUM << endl;
t.start(); for (a.first(); a.get() != NULL; a.next()) a.get()->data = 0;
cout << "Non-Stack time: " << t.GetTime() << endl;
t.start(); a.LevelOrder(zero); cout << "LevlOrder time: " << t.GetTime() << endl;
t.start(); a.PreOrder(zero); cout << " PreOrder time: " << t.GetTime() << endl;
t.start(); a.InOrder(zero); cout << " InOrder time: " << t.GetTime() << endl;
t.start(); a.PostOrder(zero); cout << "PostOrder time: " << t.GetTime() << endl;
return 0;
}
以下是timer.h的內容
#ifndef Timer_H
#define Timer_H
#include <windows.h>
class Timer
{
public:
Timer() { QueryPerformanceFrequency(&Frequency); }
inline void start() { QueryPerformanceCounter(&timerB); }
inline double GetTime()
{
QueryPerformanceCounter(&timerE);
return (double)(timerE.QuadPart - timerB.QuadPart) / (double)Frequency.QuadPart * 1000.0;
}
private:
LARGE_INTEGER timerB, timerE, Frequency;
};
#endif
上面的程序中，層次遍歷用到的是隊列，這應該可以代表用棧消解遞歸的情況，在我的機器C500上運行的結果是：
Insert time: 868.818 Node number: 200000
Non-Stack time: 130.811
LevlOrder time: 148.438
PreOrder time: 125.47
InOrder time: 129.125
PostOrder time: 130.914
以上是VC6的release版的結果，時間單位是ms，不說明會有人認為是死機了，^_^。可以看出，遞歸遍歷實際上並不慢，相反，更快一些，而debug版的結果是這樣的：
Insert time: 1355.69 Node number: 200000
Non-Stack time: 207.086
LevlOrder time: 766.023
PreOrder time: 183.287
InOrder time: 179.835
PostOrder time: 190.674
遞歸遍歷的速度是最快的
這恐怕是上面結果得出的最直接的結論。不知從哪聽來的觀點“遞歸的速度慢，為了提高速度，應該用棧消解遞歸”，證據就是斐波那契數列的計算，遺憾的是斐波那契數列的非遞歸算法是循環迭代，不是棧消解；如果他真的拿棧來模擬，他就會發現，其實用棧的更慢。
我們來看看為什麼。遞歸的實現是將參數壓棧，然後call自身，最後按層返回，一系列的動作是在堆棧上操作的，用的是push、pop、call、ret之類的指令。而用ADT棧來模擬遞歸調用，實現的還是上述指令的功能，不同的是那些指令對照的ADT實現可就不只是一條指令了。誰都明白模擬的執行效率肯定比真實的差，怎麼會在這個問題上就犯糊塗了呢？
當然，你非要在visit函數中加入類似這樣的istream file1(“input.txt”)，然後在用棧模擬的把這個放在循環的外面，最後你說，棧模擬的比遞歸的快，我也無話可說——曾經就見過一個人，http://www.csdn.net/Develop/Read_Article.asp?Id=18342將數據庫連接放在visit函數裡面，然後說遞歸的速度慢。
如果一個遞歸過程用非遞歸的方法實現後，速度提高了，那只是因為遞歸做了一些無用功。比如用循環消解的尾遞歸，是多了無用的壓棧和出棧才使速度受損的；斐波那契數列計算的遞歸改循環迭代所帶來的速度大幅提升，是因為改掉了重復計算的毛病。假使一個遞歸過程必須要用棧才能消解，那麼，完全模擬後的結果根本就不會對速度有任何提升，只會減慢；如果你改完後速度提升了，那只證明你的遞歸函數寫的有問題，例如多了許多重復操作——打開關閉文件、連接斷開數據庫，而這些完全可以放到遞歸外面。遞歸方法本身是簡潔高效的，只是使用的人不注意使用方法。
這麼看來，研究遞歸的棧消解好像是無用的，其實不然，用棧模擬遞歸還是有點意義的，只是並不大，下面將給出示例來說明。
棧模擬遞歸的好處是節省了堆棧
將上面的程序//node number那行的數值改為15000——不改沒反應了別找我，將//random swap那行注釋掉，運行debug版，耐心的等30秒，就會拋異常了，最後的輸出結果是這樣的：
Insert time: 27555.5 Node number: 15000
Non-Stack time: 16.858
LevlOrder time: 251.036
這只能說明堆棧溢出了。你可以看到層次遍歷還能工作（由此類推，棧模擬的也能工作），但是遞歸的不能工作了。這是因為和總的內存空間比起來，堆棧空間是很少的，如果遞歸的層次過深，堆棧就溢出了。所以，如果你預先感到遞歸的層次可能過深，你就要考慮用棧來消解了。
然而，如果你必須用遞歸，而遞歸的層次深到連堆棧都溢出了，那肯定是你的算法有問題，或者是那個程序根本不適合在PC上運行——運行起來就象死機了，這樣的程序誰敢用？所以說用棧模擬遞歸是有意義的，但是不大，因為很少用到。
對於樹結構來說，如果沒有雙親指針，那麼遍歷時的遞歸是必須的，與其搞什麼棧消解不如添加一個雙親指針，這實際上也是用堆空間換取堆棧空間的一個方法，只是比ADT棧來得直接、高效罷了。
綜上，遞歸的棧消解，實際上只能節省堆棧空間，不僅不會提高速度，相反卻會降低——天下哪有白吃的午餐，既省了堆棧空間還能提高速度。那些“棧消解遞歸能提高速度”的謠傳只是對“消除尾遞歸能提高速度”的不負責任的引申，然而一群人以訛傳訛，真就像是那麼回事了，這就叫三人成虎。等我這時候再回過頭看教科書，竟然沒看見一本書上寫著“棧消解遞歸能提高速度”。真的，以前一直被誤導了，還不知道是被誰誤導的——書上根本就沒有寫。
另外的結論
對比上面兩組結果，可以看到插入15000個節點比200000個節點消耗的時間還多，其原因就是插入數據的順序不同，從而導致了find的效率不同。隨機的順序大致能保證樹的左右子樹分布均勻，而有序的序列將使樹退化成單支的鏈表，從而使得O(logN)的時間復雜度變成了O(N)。同時，這也是為什麼200000個節點的樹遞歸遍歷還能工作，而遞歸遍歷15000個節點的樹堆棧就溢出了——遞歸的每一層對應的節點太少了。
為了提高find的效率，同時也是使樹的遞歸遍歷方法的使用更為寬泛，有必要研究如何能使樹的高度降低，這就是下面將要講到的平衡樹的來由。
