平衡二叉樹Balanced Binary Tree）是二叉查找樹的一個進化體，也是第一個引入平衡概念的二叉樹。1962年，G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis發明了這棵樹，所以它又叫AVL樹。平衡二叉樹要求對於每一個節點來說，它的左右子樹的高度之差不能超過1，如果插入或者刪除一個節點使得高度之差大於1，就要進行節點之間的旋轉，將二叉樹重新維持在一個平衡狀態。這個方案很好的解決了二叉查找樹退化成鏈表的問題，把插入，查找，刪除的時間復雜度最好情況和最壞情況都維持在O(logN)。但是頻繁旋轉會使插入和刪除犧牲掉O(logN)左右的時間，不過相對二叉查找樹來說，時間上穩定了很多。
平衡二叉樹實現的大部分過程和二叉查找樹是一樣的學平衡二叉樹之前一定要會二叉查找樹），區別就在於插入和刪除之後要寫一個旋轉算法去維持平衡，維持平衡需要借助一個節點高度的屬性。我參考了機械工業出版社的《數據結構與算法分析-C語言描述》寫了一個C++版的代碼。這本書的AVLTree講的很好，不過沒有很完整的去描述。我會一步一步的講解如何寫平衡二叉樹，重點是平衡二叉樹的核心部分，也就是旋轉算法。
第一步：節點信息
相對於二叉查找樹的節點來說，我們需要用一個屬性二叉樹的高度，目的是維護插入和刪除過程中的旋轉算法。
代碼如下：
//AVL樹節點信息
template<class T>
class TreeNode
{
public:
TreeNode():lson(NULL),rson(NULL),freq(1),hgt(0){}
T data;//值
int hgt;//以此節點為根的樹的高度
unsigned int freq;//頻率
TreeNode* lson;//指向左兒子的地址
TreeNode* rson;//指向右兒子的地址
};
第二步：平衡二叉樹類的聲明
聲明中的旋轉函數將在後邊的步驟中詳解。
代碼如下：
//AVL樹類的屬性和方法聲明
template<class T>
class AVLTree
{
private:
TreeNode<T>* root;//根節點
void insertpri(TreeNode<T>* &node,T x);//插入
TreeNode<T>* findpri(TreeNode<T>* node,T x);//查找
void insubtree(TreeNode<T>* node);//中序遍歷
void Deletepri(TreeNode<T>* &node,T x);//刪除
int height(TreeNode<T>* node);//求樹的高度
void SingRotateLeft(TreeNode<T>* &k2);//左左情況下的旋轉
void SingRotateRight(TreeNode<T>* &k2);//右右情況下的旋轉
void DoubleRotateLR(TreeNode<T>* &k3);//左右情況下的旋轉
void DoubleRotateRL(TreeNode<T>* &k3);//右左情況下的旋轉
int Max(int cmpa,int cmpb);//求最大值
public:
AVLTree():root(NULL){}
void insert(T x);//插入接口
TreeNode<T>* find(T x);//查找接口
void Delete(T x);//刪除接口
void traversal();//遍歷接口
};
第三步：兩個輔助方法
旋轉算法需要借助於兩個功能的輔助，一個是求樹的高度，一個是求兩個高度的最大值。這裡規定，一棵空樹的高度為-1，只有一個根節點的樹的高度為0，以後每多一層高度加1。為了解決指針NULL這種情況，寫了一個求高度的函數，這個函數還是很有必要的。
代碼如下：
//計算以節點為根的樹的高度
template<class T>
int AVLTree<T>::height(TreeNode<T>* node)
{
if(node!=NULL)
return node->hgt;
return -1;
}
//求最大值
template<class T>
int AVLTree<T>::Max(int cmpa,int cmpb)
{
return cmpa>cmpb?cmpa:cmpb;
}
第四步：旋轉
對於一個平衡的節點，由於任意節點最多有兩個兒子，因此高度不平衡時，此節點的兩顆子樹的高度差2.容易看出，這種不平衡出現在下面四種情況：
1、6節點的左子樹3節點高度比右子樹7節點大2，左子樹3節點的左子樹1節點高度大於右子樹4節點，這種情況成為左左。
2、6節點的左子樹2節點高度比右子樹7節點大2，左子樹2節點的左子樹1節點高度小於右子樹4節點，這種情況成為左右。
3、2節點的左子樹1節點高度比右子樹5節點小2，右子樹5節點的左子樹3節點高度大於右子樹6節點，這種情況成為右左。
4、2節點的左子樹1節點高度比右子樹4節點小2，右子樹4節點的左子樹3節點高度小於右子樹6節點，這種情況成為右右。
從圖2中可以可以看出，1和4兩種情況是對稱的，這兩種情況的旋轉算法是一致的，只需要經過一次旋轉就可以達到目標，我們稱之為單旋轉。2和3兩種情況也是對稱的，這兩種情況的旋轉算法也是一致的，需要進行兩次旋轉，我們稱之為雙旋轉。
第五步：單旋轉
單旋轉是針對於左左和右右這兩種情況的解決方案，這兩種情況是對稱的，只要解決了左左這種情況，右右就很好辦了。圖3是左左情況的解決方案，節點k2不滿足平衡特性，因為它的左子樹k1比右子樹Z深2層，而且k1子樹中，更深的一層的是k1的左子樹X子樹，所以屬於左左情況。
為使樹恢復平衡，我們把k2變成這棵樹的根節點，因為k2大於k1，把k2置於k1的右子樹上，而原本在k1右子樹的Y大於k1，小於k2，就把Y置於k2的左子樹上，這樣既滿足了二叉查找樹的性質，又滿足了平衡二叉樹的性質。
這樣的操作只需要一部分指針改變，結果我們得到另外一顆二叉查找樹，它是一棵AVL樹，因為X向上一移動了一層，Y還停留在原來的層面上，Z向下移動了一層。整棵樹的新高度和之前沒有在左子樹上插入的高度相同，插入操作使得X高度長高了。因此，由於這顆子樹高度沒有變化，所以通往根節點的路徑就不需要繼續旋轉了。
代碼如下：
//左左情況下的旋轉
template<class T>
void AVLTree<T>::SingRotateLeft(TreeNode<T>* &k2)
{
TreeNode<T>* k1;
k1=k2->lson;
k2->lson=k1->rson;
k1->rson=k2;
k2->hgt=Max(height(k2->lson),height(k2->rson))+1;
k1->hgt=Max(height(k1->lson),k2->hgt)+1;
}
//右右情況下的旋轉
template<class T>
void AVLTree<T>::SingRotateRight(TreeNode<T>* &k2)
{
TreeNode<T>* k1;
k1=k2->rson;
k2->rson=k1->lson;
k1->lson=k2;
k2->hgt=Max(height(k2->lson),height(k2->rson))+1;
k1->hgt=Max(height(k1->rson),k2->hgt)+1;
}
第六步：雙旋轉
對於左右和右左這兩種情況，單旋轉不能使它達到一個平衡狀態，要經過兩次旋轉。雙旋轉是針對於這兩種情況的解決方案，同樣的，這樣兩種情況也是對稱的，只要解決了左右這種情況，右左就很好辦了。圖4是左右情況的解決方案，節點k3不滿足平衡特性，因為它的左子樹k1比右子樹Z深2層，而且k1子樹中，更深的一層的是k1的右子樹k2子樹，所以屬於左右情況。
為使樹恢復平衡，我們需要進行兩步，第一步，把k1作為根，進行一次右右旋轉，旋轉之後就變成了左左情況，所以第二步再進行一次左左旋轉，最後得到了一棵以k2為根的平衡二叉樹樹。
代碼如下：
//左右情況的旋轉
template<class T>
void AVLTree<T>::DoubleRotateLR(TreeNode<T>* &k3)
{
SingRotateRight(k3->lson);
SingRotateLeft(k3);
}
//右左情況的旋轉
template<class T>
void AVLTree<T>::DoubleRotateRL(TreeNode<T>* &k3)
{
SingRotateLeft(k3->rson);
SingRotateRight(k3);
}
第七步：插入
插入的方法和二叉查找樹基本一樣，區別是，插入完成後需要從插入的節點開始維護一個到根節點的路徑，每經過一個節點都要維持樹的平衡。維持樹的平衡要根據高度差的特點選擇不同的旋轉算法。
代碼如下：
//插入
template<class T>
void AVLTree<T>::insertpri(TreeNode<T>* &node,T x)
{
if(node==NULL)//如果節點為空,就在此節點處加入x信息
{
node=new TreeNode<T>();
node->data=x;
return;
}
if(node->data>x)//如果x小於節點的值,就繼續在節點的左子樹中插入x
{
insertpri(node->lson,x);
if(2==height(node->lson)-height(node->rson))
if(x<node->lson->data)
SingRotateLeft(node);
else
DoubleRotateLR(node);
}
elseif(node->data<x)//如果x大於節點的值,就繼續在節點的右子樹中插入x
{
insertpri(node->rson,x);
if(2==height(node->rson)-height(node->lson))//如果高度之差為2的話就失去了平衡,需要旋轉
if(x>node->rson->data)
SingRotateRight(node);
else
DoubleRotateRL(node);
}
else ++(node->freq);//如果相等,就把頻率加1
node->hgt=Max(height(node->lson),height(node->rson));
}
//插入接口
template<class T>
void AVLTree<T>::insert(T x)
{
insertpri(root,x);
}
第八步：查找
和二叉查找樹相比，查找方法沒有變法，不過根據存儲的特性，AVL樹能維持在一個O(logN)的穩定的時間，而二叉查找樹則相當不穩定。
代碼如下：
//查找
template<class T>
TreeNode<T>* AVLTree<T>::findpri(TreeNode<T>* node,T x)
{
if(node==NULL)//如果節點為空說明沒找到,返回NULL
{
return NULL;
}
if(node->data>x)//如果x小於節點的值,就繼續在節點的左子樹中查找x
{
return findpri(node->lson,x);
}
elseif(node->data<x)//如果x大於節點的值,就繼續在節點的左子樹中查找x
{
return findpri(node->rson,x);
}
elsereturn node;//如果相等,就找到了此節點
}
//查找接口
template<class T>
TreeNode<T>* AVLTree<T>::find(T x)
{
return findpri(root,x);
}
第九步：刪除
刪除的方法也和二叉查找樹的一致，區別是，刪除完成後，需要從刪除節點的父親開始向上維護樹的平衡一直到根節點。
代碼如下：
//刪除
template<class T>
void AVLTree<T>::Deletepri(TreeNode<T>* &node,T x)
{
if(node==NULL) return ;//沒有找到值是x的節點
if(x < node->data)
{
Deletepri(node->lson,x);//如果x小於節點的值,就繼續在節點的左子樹中刪除x
if(2==height(node->rson)-height(node->lson))
if(node->rson->lson!=NULL&&(height(node->rson->lson)>height(node->rson->rson)) )
DoubleRotateRL(node);
else
SingRotateRight(node);
}
elseif(x > node->data)
{
Deletepri(node->rson,x);//如果x大於節點的值,就繼續在節點的右子樹中刪除x
if(2==height(node->lson)-height(node->rson))
if(node->lson->rson!=NULL&& (height(node->lson->rson)>height(node->lson->lson) ))
DoubleRotateLR(node);
else
SingRotateLeft(node);
}
else//如果相等,此節點就是要刪除的節點
{
if(node->lson&&node->rson)//此節點有兩個兒子
{
TreeNode<T>* temp=node->rson;//temp指向節點的右兒子
while(temp->lson!=NULL) temp=temp->lson;//找到右子樹中值最小的節點
//把右子樹中最小節點的值賦值給本節點
node->data=temp->data;
node->freq=temp->freq;
Deletepri(node->rson,temp->data);//刪除右子樹中最小值的節點
if(2==height(node->lson)-height(node->rson))
{
if(node->lson->rson!=NULL&& (height(node->lson->rson)>height(node->lson->lson) ))
DoubleRotateLR(node);
else
SingRotateLeft(node);
}
}
else//此節點有1個或0個兒子
{
TreeNode<T>* temp=node;
if(node->lson==NULL)//有右兒子或者沒有兒子
node=node->rson;
elseif(node->rson==NULL)//有左兒子
node=node->lson;
delete(temp);
temp=NULL;
}
}
if(node==NULL) return;
node->hgt=Max(height(node->lson),height(node->rson))+1;
return;
}
//刪除接口
template<class T>
void AVLTree<T>::Delete(T x)
{
Deletepri(root,x);
}
第十步：中序遍歷
代碼如下：
//中序遍歷函數
template<class T>
void AVLTree<T>::insubtree(TreeNode<T>* node)
{
if(node==NULL) return;
insubtree(node->lson);//先遍歷左子樹
cout<<node->data<<" ";//輸出根節點
insubtree(node->rson);//再遍歷右子樹
}
//中序遍歷接口
template<class T>
void AVLTree<T>::traversal()
{
insubtree(root);
}
第十一步：關於效率
此數據結構插入、查找和刪除的時間復雜度均為O(logN)，但是插入和刪除需要額外的旋轉算法需要的時間，有時旋轉過多也會影響效率。
關於遞歸和非遞歸。我用的是遞歸的方法進行插入，查找和刪除，而非遞歸的方法一般來說要比遞歸的方法快很多，但是我感覺非遞歸的方法寫出來會比較困難，所以我還是選擇了遞歸的方法。
還有一種效率的問題是關於高度信息的存儲，由於我們需要的僅僅是高度的差，不需要知道這棵樹的高度，所以只需要使用兩個二進制位就可以表示這個差。這樣可以避免平衡因子的重復計算，可以稍微的加快一些速度，不過代碼也喪失了相對簡明性和清晰度。如果采用遞歸寫法的話，這種微加速就更顯得微乎其微了。
如果有哪些不對的或者不清晰的地方請指出，我會修改並加以完善。
轉載自：http://www.cppblog.com/cxiaojia/archive/2012/08/20/187776.html
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