Pick 定理 設以整數點為頂點的多邊形的面積為S，多邊形內部的整數點數為N，多邊形邊界上的整數點數為L,則
N+1/2L-1=S.
對於N與L的計算由下面的程序給出：
typedef struct Point
{
int x,y;
}POINT;
int gcd(int a,int b) //求數a,b的最大公因數
{
if(b==0) return a;
else return gcd(b,a%b);
}
多邊形邊上的網格點個數有下列程序段給出：
int OnEdge(int n,POINT *p)
{
int i,ret=0;
for(i=0;i<n;i++)
ret+=gcd(fabs(p[i].x-p[(i+1)%n].x),fabs(p[i].y-p[(i+1)%n].y));
return ret;
}
多邊形內部的網格點個數由下列程序段給出：
int InSide(int n,POINT *p)
{
int i,area=0;
for(i=0;i<n;i++) area+=p[(i+1)%n].y*(p[i].x-p[(i+2)%n].x); //計算面積
return (fabs(area)-OnEdge(n,p))/2 +1;
}
問題描述
格點是一個有序(x,y)，其中x和y都是整數。給定三角形的頂點坐標（碰巧是格點）,要你計算完全在三角形中的頂點個數（三角形邊上和三角形的頂點不必計算)。
輸入
輸入有多組測試數據。每組測試數據由6個整數x1,y1,x2,y2,x3和y3組成，其中，（x1,y1)、（x2,y2)和（x3,y3)是三角形的頂點坐標。輸入中的所有三角形都是非退化的（有正的面積）,-15000≤x1,y1,x2,y2,x3,y3≤15000。當輸入的數滿足x1=y1=x2=y2=x3=y3=0時表示輸入結束，不必處理。
輸出
對每組測試數據，單行上輸出三角形內部格點的個數。
輸入樣例 輸出樣例
0 0 1 0 0 1 0
0 0 5 0 0 5 6
0 0 0 0 0 0
分析
本題可直接用Pick定理：area=OnEdge/2+InSide-1，其中area為頂點都是格點的多邊形的面積，OnEdge為多邊形上的格點數，InSide為多邊形內部的格點數。
多邊形的面積可用叉積計算，但注意可能為負值，需轉換。給定兩個格點A（x0,y0），B（x1,y1)。設C(X,Y)是線段AB上的一個結點。那麼，x=x0+λ(x1-x0)，y=y0+λ(y1-y0)，（0≤λ≤1)。要使x與y均為整數，λ必為一個分數，而且λ的分母是x1-x0與y1-y0的公因數，因此可用最大公因數算法gcd求得。
參考程序
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef struct Point
{
int x,y;
}POINT;
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0) return a;
else return gcd(b,a%b);
}
int Int_area(POINT a,POINT b,POINT c) //平行四邊形面積
{
return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x);
}
int edgenum(POINT a,POINT b)
{
int dx,dy;
dx=a.x-b.x;
if(dx<0) dx=-dx;
dy=a.y-b.y;
if(dy<0) dy=-dy;
return gcd(dx,dy);
}
int main()
{
POINT a,b,c;
int area,OnEdge,InSide;
while(cin>>a.x>>a.y>>b.x>>b.y>>c.x>>c.y&&(a.x||a.y||b.x||b.y||c.x||c.y))
{
area=Int_area(a,b,c);
if(area<0) area=-area;
OnEdge=edgenum(a,b)+edgenum(b,c)+edgenum(c,a);
InSide=(area-OnEdge+2)/2; //Pick定理應用，area是三角形面積的2倍
cout<<InSide<<endl;
}
return 0;
}
作者 在雲中漫步
