定理：對於任意的四邊形ABCD,其對角線AC與BD的中點分別是M,N,AB,CD的延長線交於R.驗證三角形RMN的面積是四邊形ABCD面積的四分之一。
下面我們就用C語言來驗證一下這個定理的正確性，由於計算機的精確度是有限的，我們采用雙精度double來存儲各個邊長的長度及運算過程中的變量，由於double值會對實際長度進行截取，特別是長度為根號值時，導致與實際長度有出入，所以最後得到的面積只能是近似，也就是答案接近於4就應是正確的答案，原命題也就得到了證明。
#include<stdio.h>
#include<math.h>
typedef struct
{
double x;
double y;
} Point;
#define a P[0]
#define b P[1]
#define c P[2]
#define d P[3]
int ok(Point *p ) /*指針可以當數組來使用*/
{ /*檢測是否1),2)+pow((a2-a1),2);
平行四邊形，若是返回0*/
double a0,b0,a1,b1, a2,b2, a3,b3, k1,k2,k3,k4;
a0=p[0].x;b0=p[0].y;a1=p[1].x;b1=p[1].y;
a2=p[2].x;b2=p[2].y;a3=p[3].x;b3=p[3].y;
k1=pow((b1-b0),2)+pow((a1-a0),2);
k2=pow((b3-b2),2)+pow((a3-a2),2);
k3=pow((b2-b1),2)+pow((a2-a1),2);
k4=pow((b3-b0),2)+pow((a3-a0),2);
if((k1==k2)&&(k3==k4))
{ getch();
return 0;
}
return 1;
}
/*聲明各個子函數*/
double si_area(double s[]);
Point joind(Point P[]);
main()
{
Point m,n,r,dian1,P[4],*PP=P;
char *p;
double x,y,tt,sos, var[4];
double m1,m2,m3,tmp;
static char pname[]="ABCD";
p=pname;
while(*p)
{
printf("input (x,y) of point %c:",*p);
scanf("%lf%lf", &x, &y);
/*scanf("%lf%lf",&PP->x,&PP->y); 這種輸入編譯能成功，但運行時窗口會關閉*/
PP->x=x;PP->y=y;
p++;PP++;
} /* 至此得到四邊形的4個頂點的坐標 */
if(!ok(P))
{
fprintf(stderr,"\ninvalid input...\n");
exit(1); /*異常結束1 */
} /*如果AB//CD則無法相交只好退出*/
/*求三角形的各個頂點*/
m.x=(a.x+c.x)/2.0;m.y=(a.y+c.y)/2.0;
n.x=(b.x+d.x)/2.0;n.y=(b.y+d.y)/2.0;
/*求四條邊的邊長*/
var[0]=sqrt((pow((b.y-a.y),2)+pow((b.x-a.x),2)));
var[1]=sqrt((pow((c.y-b.y),2)+pow((c.x-b.x),2)));
var[2]=sqrt((pow((d.y-c.y),2)+pow((d.x-c.x),2)));
var[3]=sqrt((pow((d.y-a.y),2)+pow((d.x-a.x),2)));
/*求四邊形的面積 */
tt=si_area(var);
dian1=joind(P); /*得出四邊形的交點坐標*/
r.x=dian1.x;r.y=dian1.y;
printf("the point is %lf %lf\n ",r.x,r.y);
/*求三角形的面積:采用余弦定理*/
m1=sqrt( pow( (m.y-n.y),2 ) + pow ( (m.x - n.x),2) );
m2=sqrt( pow( (r.y-n.y),2 ) + pow ( (r.x - n.x),2) );
m3=sqrt( pow( (r.y-m.y),2 ) + pow ( (r.x - m.x),2) );
tmp=cos((pow(m1,2)+pow(m2,2)-pow(m3,2))/2*m1*m2);
sos=m1*m2*sqrt(1-pow(tmp,2));
printf("the retangle's area is %lf\n",tt);
printf("the m n r is\n %lf %lf\n%lf %lf\n%lf %lf\n",m.x,m.y,n.x,n.y,r.x,r.y);
printf("the triangle's area is %lf\n",sos);
printf("the retangle's area is the %lf times as the triangle\n",tt/sos);
getch();
return 0;
}
/*以下是求兩直線是否有交點的函數
返回參數:NULL。通過設置全局變量，所以沒有返回參數
輸入參數：結構體類型的兩條線段的四個頂點 */
Point joind(Point P[])
{
double a0,b0,a1,b1, a2,b2, a3,b3, k1,k2;
Point ss;
double dian[2];
a0=P[0].x;b0=P[0].y;a1=P[1].x;b1=P[1].y;
a2=P[2].x;b2=P[2].y;a3=P[3].x;b3=P[3].y;
if((a0-a1)==0&&(b2-b3)==0)
{
dian[0]=a0;
dian[1]=b2;
printf("the point is %lf %lf\n ",dian[0],dian[1]);
ss.x=dian[0];ss.y=dian[1];
return ss;
}
else if((a0-a1)==0&&(b2-b3)!=0)
{
if((a2-a3)==0) /*所比較的直線平行*/
{
if((a1-a2)==0)
{
dian[0]=a1;
dian[1]=(b3-b0)*(a1-a0)/(a3-a0)+b0;
ss.x=dian[0];ss.y=dian[1];
return ss;
}
else if((a3-a0)==0)
{
dian[0]=a0;
dian[1]=(b2-b1)*(a0-a1)/(a2-a1)+b1;
ss.x=dian[0];ss.y=dian[1];
return ss;
}
else
{
k1=(b2-b1)/(a2-a1);
k2=(b0-b3)/(a0-a3);
dian[0]=(k2*a3-k1*a2+b2-b3)/(k2-k1);
dian[1]=(dian[0]-a2)*k1+b2;
ss.x=dian[0];ss.y=dian[1];
return ss;
}
}
else
{
k2=(b2-b3)/(a2-a3);
dian[0]=a0;
dian[1]=(a0-a2)*k2+b2;
ss.x=dian[0];ss.y=dian[1];
return ss;
}
}
else if((a0-a1)!=0&&(b2-b3)==0)
{
if((b0-b1)==0) /*所比較的直線平行*/
{
if((a1-a2)==0)
{
dian[0]=a1;
dian[1]=(b3-b0)*(a1-a0)/(a3-a0)+b0;
ss.x=dian[0];ss.y=dian[1];
return ss;
}
else if((a3-a0)==0)
{
dian[0]=a0;
dian[1]=(b2-b1)*(a0-a1)/(a2-a1)+b1;
ss.x=dian[0];ss.y=dian[1];
return ss;
}
else
{
k1=(b2-b1)/(a2-a1);
k2=(b0-b3)/(a0-a3);
dian[0]=(k2*a3-k1*a2+b2-b3)/(k2-k1);
dian[1]=(dian[0]-a2)*k1+b2;
ss.x=dian[0];ss.y=dian[1];
return ss;
}
}
else
{
k1=(b0-b1)/(a0-a1);
dian[1]=b2;
dian[0]=(b2-b0)/k1+a0;
ss.x=dian[0];ss.y=dian[1];
return ss;
}
}
else
{
k1=(b0-b1)/(a0-a1);
k2=(b2-b3)/(a2-a3);
if(k1==k2) /*所比較的直線平行*/
{
if((a1-a2)==0)
{
dian[0]=a1;
dian[1]=(b3-b0)*(a1-a0)/(a3-a0)+b0;
ss.x=dian[0];ss.y=dian[1];
return ss;
}
else if((a3-a0)==0)
{
dian[0]=a0;
dian[1]=(b2-b1)*(a0-a1)/(a2-a1)+b1;
ss.x=dian[0];ss.y=dian[1];
return ss;
}
else
{
k1=(b2-b1)/(a2-a1);
k2=(b0-b3)/(a0-a3);
dian[0]=(k2*a3-k1*a2+b2-b3)/(k2-k1);
dian[1]=(dian[0]-a2)*k1+b2;
ss.x=dian[0];ss.y=dian[1];
return ss;
}
}
else
{
dian[0]=(k1*a0-k2*a2+b2-b0)/(k1-k2);
dian[1]=b0+(dian[0]-a0)*k1;
ss.x=dian[0];ss.y=dian[1];
return ss;
}
}
}
/* 求四邊形的面積 */
double si_area(double s[])
{
double t1,a1;
t1=(s[0]+s[1]+s[2]+s[3])/2.0;
a1=sqrt((t1-s[0])*(t1-s[1])*(t1-s[2])*(t1-s[3]));
return a1;
}
