個人住房貸款計算器的數學原理(2)

這樣，各個月的剩余貸款余額如下表：

期數 剩余貸款余額 0 A A 1 A(1+r) - z A(1+r) – z 2 [A(1+r) - z](1+r) – z A(1+r)² – z[(1+r) + 1] 3 {A(1+r)² – z[(1+r) + 1]}(1+r) - z A(1+r)³ – z[(1+r)² + (1+r) + 1] … … … n {A(1+r)^n-1 – z[(1+r)^n-2 + … + (1+r) + 1]}(1+r) - z A(1+r)ⁿ – z[(1+r)^n-1 + … + (1+r) + 1]

根據上表，最後一期的剩余貸款余額是：

A(1+r)ⁿ – z[(1+r)^n-1 + … + (1+r) + 1] = A(1+r)ⁿ – z[(1+r)ⁿ - 1] / r

上面的計算是根據等比數列的求和公式，S_n = a₁(qⁿ – 1) / (q – 1)，其中 a₁ = 1，q = 1+r 。

由於最後一期的剩余貸款余額必須為零，因此：

A(1+r)ⁿ – z[(1+r)ⁿ - 1] / r = 0

z[(1+r)ⁿ - 1] / r = A(1+r)ⁿ

z = A · r · (1+r)ⁿ / [(1+r)ⁿ - 1]

這就是本文一開頭提到的等本息法月還款額的計算公式。

2.等本息法應付的總利息

在利率不變的情況下，等本息法的月還款額是固定的，計算公式如下：

月還款額 = 貸款金額 x 月利率 x　 (1+月利率)^期數 / [(1+月利率)^期數 - 1]

本月月還利息 = 上月剩余貸款余額 x 月利率

本月月還本金 = 月還款額 - 本月月還利息

本月剩余貸款余額 = 上月剩余貸款余額 - 本月月還本金

因此：

總利息 = 總還款額 - 貸款金額 = 月還款額 x 期數 - 貸款金額 = z · n - A

將月還款額 z = A · r · (1+r)ⁿ / [(1+r)ⁿ - 1] 代入上式，得到：

總利息 = A · [1 + (n · r - 1) · (1+r)ⁿ] / [(1+r)ⁿ - 1]

上式中，貸款金額 A 和月利率 r 都是正實數，期數 n 是正整數。