C#中的浮點數，分單精度（float）和雙精度（double）： float 是 System.Single 的別名，介於 -3.402823e38 和 +3.402823e38 之間的32位數字，符合二進制浮點算法的 IEC 60559:1989 (IEEE 754) 標准； double 是 System.Double 的別名，介於 -1.79769313486232e308 和 +1.79769313486232e308 之間的64位數字，符合二進制浮點算法的 IEC 60559:1989 (IEEE 754) 標准； 我們知道，計算機只認識 0 和 1，所以數值都是以二進制的方式儲存在內存中的。 （對於人腦和計算機哪個聰明，個人更傾向於選擇人腦，計算機只是計算得快，而且不厭其煩而已！） 所以要知道數值在內存中是如何儲存的，需先將數值轉為二進制（這裡指在范圍內的數值）。 根據 IEEE 754 標准，任意一個二進制浮點數 V 均可表示為：V = (-1 ^ s) * M * (2 ^ e)。 其中 s ∈ {0, 1}；M ∈ [1, 2)；e 表示偏移指數。 以 198903.19(10) 為例，先轉成二進制的數值為：110000100011110111.0011000010100011(2)（截取 16 位小數），采用科學記數法等於 1.100001000111101110011000010100011 * (2 ^ 17)（整數位是 1），即 198903.19(10) = (-1 ^ 0) * 1.100001000111101110011000010100011 * (2 ^ 17)。 整數部分可采用 "除2取余法"，小數部分可采用 "乘2取整法"。 從結果可以看出，小數部分 0.19 轉為二進制後，小數位數超過 16 位（我已經手算到小數點後 32 位都還沒算完，其實這個位數是無窮盡的）。 由於無法得到完全正確的數值，這裡就引申出浮點數精度丟失的問題： /* 程序段1 */ float num_a = 198903.19f; float num_b = num_a / 2; Console.WriteLine(num_a); Console.WriteLine(num_b); 這段程序代碼，我們預想中正確的結果應該是：198903.19 和 99451.595。 但結果居然是！！！原因下面將講到 ... 這裡介紹另一種轉小數部分的方法，有興趣可以看下： 假如結果要求精確到 N 位小數，那麼只需要將小數部分乘以 2 的 N 次方（例如 N = 16，0.19 * (2 ^ 16)，得到 12451.84）。 取整數部分（12451），按整數的方法轉為二進制，得到 11000010100011，不足 N 位在高位用 0 補足。 結果 0.19 精確到 16 位後，用二進制表示為 0.0011000010100011。 可以看出，若是小數部分乘以 2 的 N 次方後，可以得到一個整數，那麼這個小數可以用二進制精確表示，否則則不可以。 （原理很簡單，根據二進制小數位轉十進制的方法，反推回去就可以得到這個結果） 在內存中，float 和 double 的儲存格式是一致的，只是占用的空間大小不同。 float 總共占用 32 位： 從左往右，第 1 位是符號位，占 1 位；第 2-9 位是指數位，占 8 位；第 10-32 位是尾數位，占 23 位。 double 總共占用 64 位，從左往右第 1 位也是符號位，占 1 位；第 2-12 位是指數位，占 11 位；第 13-64 位是尾數位，占 52 位。 其中，符號位（即上文的 s，下同），0 代表正數，1 代表負數。 對於 float，8位指數位的值范圍為 0-255(10)，由於指數（即上文的 e，下同）可正可負，而指數位的值是一個無符號整數。根據標准規定，儲存時采用偏移值（偏移值為127）的方法，儲存值為指數 + 127。例如 0111 0011(2) 表示指數 -12(10)（(-12) + 127 = 115），1000 1011(2) 表示指數 12(10)（12+ 127 = 139）。 { 另外，IEEE 754 規定（同樣適用於 double）： 當指數全為 0 時，如果尾數全為 0，表示 ±0（正負取決於符號位），如果尾數不全為 0，計算時指數等於 -126，尾數不加上第一位的1，而是還原為 0.xxxxxx 的小數，表示更接近 0 的小數； 當指數全為 1 時，如果尾數全為 0，表示 ±無窮大（正負取決於符號位），如果尾數不全為 0，表示這不是一個數（NaN）。 資料來自非規約形式的浮點數 } 同樣的，對於 double，11位指數位，儲存時采用的偏移值為 1023。 尾數位，由於所有數值均可以轉換成 1.xxx * (2 ^ N)（此處暫時忽略精度問題），所以尾數部分只保存小數部分（最高位的 1 不存入內存，提高 1 個位的精度）。 以 float 198903.19 為例，二進制為 1.100001000111101110011000010100011 * (2 ^ 17)； 數值為正數，符號位是 0； 指數是 17，保存為 144（17 + 127 = 144），即 10010000（共 8 位，不足 8 位在高位用 0 補足）； 小數位是 10000100011110111001100（截取 23 位）； 最終得到：01001000 01000010 00111101 11001100，按字節倒序順序，轉為十六進制就是：CC 3D 42 48 float f_num = 198903.19f; var f_bytes = BitConverter.GetBytes(f_num); Console.WriteLine("float: 198903.19"); Console.WriteLine(BitConverter.ToString(f_bytes)); Console.WriteLine(string.Join(" ", f_bytes.Select(i => Convert.ToString(i, 2).PadLeft(8, '0')))); 同樣的格式，double 198903.19 最終得到：01000001 00001000 01000111 10111001 10000101 00011110 10111000 01010010（最後兩位結果為什麼是 10 而不是 01，請參考浮點數的捨入），按字節倒序順序，轉為十六進制就是：52 B8 1E 85 B9 47 08 41 double d_num = 198903.19d; var d_bytes = BitConverter.GetBytes(d_num); Console.WriteLine("double: 198903.19"); Console.WriteLine(BitConverter.ToString(d_bytes)); Console.WriteLine(string.Join(" ", d_bytes.Select(i => Convert.ToString(i, 2).PadLeft(8, '0')))); 回到精度丟失的問題，由於小數位無法算盡，內存用截取精度的方式儲存了轉換後的二進制，這導致保存的結果並非是完全正確的數值。 看回 程序段1 的例子， num_a 在內存中其實是保存為：01001000 01000010 00111101 11001100，換算成十進制就是：198903.1875； num_b 在內存中其實是保存為：01000111 11000010 00111101 11001100，換算成十進制就是：99451.59375； 先看 num_b，由於 num_a 在內存中儲存的值已經是不正確的，那麼再利用其進行計算，得到的結果 99.9% 也會是不正確的。所以 num_b 的結果並不是我們想要的 99451.595。 然後為什麼 198903.1875 會變成 198903.2，而 99451.59375 會變成 99451.595 呢？我們知道，內存中確實是儲存了 198903.1875 和 99451.59375 這兩個值，那麼就只有可能是在輸出的時候做了變動。其實這是微軟做的小把戲，我們有句俗話說"以毒攻毒"，大概就這個意思，既然儲存的已經是不正確的數值，那麼在輸出的時候，會智能地猜測判斷原先正確的數值是什麼，然後輸出猜測的那個值，說不定就真的猜中了呢！ （之前看過的一篇文章寫的，忘了地址，大概就這個意思。如果不是因為這個原因，大家就當飯後娛樂吧。）
