一個農夫養了一頭牛，三年後，這頭牛每年會生出1頭牛，生出來的牛三年後，又可以每年生出一頭牛……問農夫10年後有多少頭牛?n年呢？
這裡主要談一下解決這種問題的思想。首先可以聯系斐波那契數列，設f(n)為第n年的牛，則 f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)————>表達式1-1 即第n年的牛為去年牛的個數f(n - 1)加上今年出生牛的個數,那麼今年有多少頭牛能生呢？（不考慮死亡的牛）則為前年牛的個數即f(n - 2)，因為前年的牛今年至少3歲，即為表達式1-1。 推廣一下，將牛生育年齡設為m，那麼計算的表達式就變為 f(n) = f(n - 1) + f(n - m + 1)————>表達式1-2 即n-1年牛的個數加上n-m+1年的牛生出的小牛。 那麼下面討論一個稍微復雜點的問題，如果增加一個條件，即牛會在第８年死去，那麼第n年會有多少條牛呢？ 為了便於推導，這裡先設幾個函數: · f(n)即第n年牛的個數 · h(n)即第n年出生的牛的個數 · g(n)即第n年死亡的牛的個數 那麼這裡可以首先想到一個表達式: (1)f(n) = f(n -1) + h(n) - g(n) 即第n年牛的個數為第n-1年牛的個數+第n年出生的牛的個數-第n年死亡的牛的個數 而第二個表達式即關於新增牛的個數h(n)的： (2)h(n) = f(n - 2) - g(n - 1) 即第n年出生的牛的個數為第n-2年牛的個數減去在第n-1年死亡的牛的個數 再看第三個表達式關於第n年死亡的牛的個數的： (3)g(n)=h(n - 7) 即第n年死亡的牛的個數為第n - 7年出生的牛的個數，這是一個對稱的關系。 推導的步驟如下，將(2)代入(1) 即f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)- g(n - 1) - g(n)---->（4） 再將(3)式代入(4) 即f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) - h(n - 8) - h(n - 7)----->(5) 再將（2）式代入（5）的h(n - 7) 即f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) - (h(n - 8) + f(n - 9) - g(n - 8)) 到了這裡不難看出(h(n - 8) + f(n - 9) - g(n - 8))即為f(n - 8)通過式(1)。
