第四組
第一題 . 五個海盜搶到了100顆寶石，每一顆都一樣大小和價值連城。他們決定這麼分：
抽簽決定自己的號碼(1、2、3、4、5)
首先，由1號提出分配方案，然後大家表決，當且僅當超過半數的人同意時，按照他的方案
進行分配，否則將被扔進大海喂鲨魚
如果1號死後，再由2號提出分配方案，然後剩下的4人進行表決，當且僅當超過半數的人同
意時，按照他的方案進行分配，否則將被扔入大海喂鲨魚
依此類推
條件：每個海盜都是很聰明的人，都能很理智地做出判斷，從而做出選擇。
問題：第一個海盜提出怎樣的分配方案才能使自己的收益最大化?
第二題 . 一道關於飛機加油的問題，已知：
每個飛機只有一個油箱，
飛機之間可以相互加油(注意是相互，沒有加油機)
一箱油可供一架飛機繞地球飛半圈，
問題：
為使至少一架飛機繞地球一圈回到起飛時的飛機場，至少需要出動幾架飛機?(所有飛機從同一機場起飛，而且必須安全返回機場，不允許中途降落，中間沒有飛機場)第三題. 汽車加油問題
一輛載油500升的汽車從A開往1000公裡外的B，已知汽車每公裡耗油量為1升，A處有無窮多的油，其他任何地點都沒有油，但該車可以在任何地點存放油以備中轉，問從A到B最少需要多少油
第四題. 擲杯問題
一種杯子，若在第N層被摔破，則在任何比N高的樓層均會破，若在第M層不破，則在任何比M低的樓層均會破，給你兩個這樣的杯子，讓你在100層高的樓層中測試，要求用最少的測試次數找出恰巧會使杯子破碎的樓層。
第五題. 推理游戲
教授選出兩個從2到9的數，把它們的和告訴學生甲，把它們的積告訴學生乙，讓他們輪流猜這兩個數
甲說：“我猜不出”
乙說：“我猜不出”
甲說：“我猜到了”
乙說：“我也猜到了”
問這兩個數是多少
第六題. 病狗問題
一個住宅區內有100戶人家，每戶人家養一條狗，每天傍晚大家都在同一個地方遛狗。已知這些狗中有一部分病狗，由於某種原因，狗的主人無法判斷自己的狗是否是病狗，卻能夠分辨其他的狗是否有病，現在，上級傳來通知，要求住戶處決這些病狗，並且不允許指認他人的狗是病狗(就是只能判斷自己的)，過了7天之後，所有的病狗都被處決了，問，一共有幾只病狗?為什麼?
第七題. U2合唱團在17分鐘內得趕到演唱會場，途中必需跨過一座橋，四個人從橋的同一端出發，你得幫助他們到達另一端，天色很暗，而他們只有一只手電筒。一次同時最多可以有兩人一起過橋，而過橋的時候必須持有手電筒，所以就得有人把手電筒帶來帶去，來回橋兩端。手電筒是不能用丟的方式來傳遞的。四個人的步行速度各不同，若兩人同行則以較慢者的速度為准。BONO需花1分鐘過橋,EDGE需花2分鐘過橋,ADAM需花5分鐘過橋,LARRY需花10分鐘過橋,他們要如何在17分鐘內過橋呢?
第八題. 監獄裡有100個房間，每個房間內有一囚犯。一天，監獄長說，你們獄房外有一電燈，你們在放風時可以控制這個電燈(熄或亮)。每天只能有一個人出來放風，並且防風是隨機的。如果在有限時間內，你們中的某人能對我說：“我敢保證，現在每個人都已經至少放過一次風了。”我就放了你們!問囚犯們要采取什麼策略才能被監獄長放掉?如果采用了這種策略，大致多久他們可以被釋放?
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第四組答案 都是很難的題目
第一題：97 0 1 2 0 或者 97 0 1 0 2 (提示：可用逆推法求出)
第二題：3架飛機5架次，飛法：
ABC 3架同時起飛，1/8處，C給AB加滿油，C返航，1/4處，B給A加滿油，B返航，A到達1/2處，C從機場往另一方向起飛，3/4處，C同已經空油箱的A平分剩余油量，同時B從機場起飛，
$False$
AC到7/8處同B平分剩余油量，剛好3架飛機同時返航。所以是3架飛機5架次。第三題：需要建立數學模型
(提示，嚴格證明該模型最優比較麻煩，但確實可證，大膽猜想是解題關鍵)
題目可歸結為求數列 an=500/(2n+1) n=0,1,2,3......的和Sn什麼時候大於等於1000,解得n> 6
當n=6時，S6=977.57
所以第一個中轉點離起始位置距離為1000-977.57=22.43公裡
所以第一次中轉之前共耗油 22.43*(2*7+1)=336.50升
此後每次中轉耗油500升
所以總耗油量為7*500+336.50=3836.50升
第四題：需要建立數學模型
題目可歸結為求自然數列的和S什麼時候大於等於100，解得n> 13
第一個杯子可能的投擲樓層分別為：14，27，39，50，60，69，77，84，90，95，99，100
第五題：3和4(可嚴格證明)
設兩個數為n1，n2，n1> =n2，甲聽到的數為n=n1+n2，乙聽到的數為m=n1*n2
證明n1=3，n2=4是唯一解
證明：要證以上命題為真，不妨先證n=7
1)必要性：
i) n> 5 是顯然的，因為n <4不可能，n=4或者n=5甲都不可能回答不知道
ii) n> 6 因為如果n=6的話，那麼甲雖然不知道(不確定2+4還是3+3)但是無論是2，4還是3，3乙都不可能說不知道(m=8或者m=9的話乙說不知道是沒有道理的)
iii) n <8 因為如果n> =8的話，就可以將n分解成 n=4+x 和 n=6+(x-2)，那麼m可以是4x也可以是6(x-2)而4x=6(x-2)的必要條件是x=6即n=10，那樣n又可以分解成8+2，所以總之當n> =8時，n至少可以分解成兩種不同的合數之和，這樣乙說不知道的時候，甲就沒有理由馬上說知道。
以上證明了必要性
2)充分性
當n=7時，n可以分解成2+5或3+4
顯然2+5不符合題意，捨去，容易判斷出3+4符合題意，m=12，證畢
於是得到n=7 m=12 n1=3 n2=4是唯一解。第六題：7只(數學歸納法證明)
1)若只有1只病狗，因為病狗主人看不到有其他病狗，必然會知道自己的狗是病狗(前提是一定存在病狗)，所以他會在第一天把病狗處決。
2)設有k只病狗的話，會在第k天被處決，那麼，如果有k+1只，病狗的主人只會看到k只病狗，而第k天沒有人處決病狗，病狗主人就會在第k+1天知道自己的狗是病狗，於是病狗在第k+1天被處決
3)由1)2)得，若有n只病狗，必然在第n天被處決
第七題：(提示：可用圖論方法解決)
BONO&EDGE過(2分)，BONO將手電帶回(1分)，ADAM&LARRY過(10分)，EDGE將手電帶回(2分)，BONO&EDGE過(2分) 2+1+10+2+2=17分鐘
第八題：
約定好一個人作為報告人(可以是第一個放風的人)
規則如下：
1、報告人放風的時候開燈並數開燈次數
2、其他人第一次遇到開著燈放風時，將燈關閉
3、當報告人第100次開燈的時候，去向監獄長報告，要求監獄長放人......
按照概率大約30年後(10000天)他們可以被釋放
