接著理解矩陣。
上一篇裡說“矩陣是運動的描述”，到現在為止，好像大家都還沒什麼意見。但是我相信早晚會有數學系出身的網友來拍板轉。因為運動這個概念，在數學和物理裡是跟微積分聯系在一起的。我們學習微積分的時候，總會有人照本宣科地告訴你，初等數學是研究常量的數學，是研究靜態的數學，高等數學是變量的數學，是研究運動的數學。大家口口相傳，差不多人人都知道這句話。但是真知道這句話說的是什麼意思的人，好像也不多。簡而言之，在我們人類的經驗裡，運動是一個連續過程，從A點到B點，就算走得最快的光，也是需要一個時間來逐點地經過AB之間的路徑，這就帶來了連續性的概念。而連續這個事情，如果不定義極限的概念，根本就解釋不了。古希臘人的數學非常強，但就是缺乏極限觀念，所以解釋不了運動，被芝諾的那些著名悖論（飛箭不動、飛毛腿阿喀琉斯跑不過烏龜等四個悖論）搞得死去活來。因為這篇文章不是講微積分的，所以我就不多說了。有興趣的讀者可以去看看齊民友教授寫的《重溫微積分》。我就是讀了這本書開頭的部分，才明白“高等數學是研究運動的數學”這句話的道理。
不過在我這個《理解矩陣》的文章裡，“運動”的概念不是微積分中的連續性的運動，而是瞬間發生的變化。比如這個時刻在A點，經過一個“運動”，一下子就“躍遷”到了B點，其中不需要經過A點與B點之間的任何一個點。這樣的“運動”，或者說“躍遷”，是違反我們日常的經驗的。不過了解一點量子物理常識的人，就會立刻指出，量子（例如電子）在不同的能量級軌道上跳躍，就是瞬間發生的，具有這樣一種躍遷行為。所以說，自然界中並不是沒有這種運動現象，只不過宏觀上我們觀察不到。但是不管怎麼說，“運動”這個詞用在這裡，還是容易產生歧義的，說得更確切些，應該是“躍遷”。因此這句話可以改成：
“矩陣是線性空間裡躍遷的描述”。
可是這樣說又太物理，也就是說太具體，而不夠數學，也就是說不夠抽象。因此我們最後換用一個正牌的數學術語——變換，來描述這個事情。這樣一說，大家就應該明白了，所謂變換，其實就是空間裡從一個點（元素/對象）到另一個點（元素/對象）的躍遷。比如說，拓撲變換，就是在拓撲空間裡從一個點到另一個點的躍遷。再比如說，仿射變換，就是在仿射空間裡從一個點到另一個點的躍遷。附帶說一下，這個仿射空間跟向量空間是親兄弟。做計算機圖形學的朋友都知道，盡管描述一個三維對象只需要三維向量，但所有的計算機圖形學變換矩陣都是4 x 4的。說其原因，很多書上都寫著“為了使用中方便”，這在我看來簡直就是企圖蒙混過關。真正的原因，是因為在計算機圖形學裡應用的圖形變換，實際上是在仿射空間而不是向量空間中進行的。想想看，在向量空間裡相一個向量平行移動以後仍是相同的那個向量，而現實世界等長的兩個平行線段當然不能被認為同一個東西，所以計算機圖形學的生存空間實際上是仿射空間。而仿射變換的矩陣表示根本就是4 x 4的。又扯遠了，有興趣的讀者可以去看《計算機圖形學——幾何工具算法詳解》。
一旦我們理解了“變換”這個概念，矩陣的定義就變成：
“矩陣是線性空間裡的變換的描述。”
到這裡為止，我們終於得到了一個看上去比較數學的定義。不過還要多說幾句。教材上一般是這麼說的，在一個線性空間V裡的一個線性變換T，當選定一組基之後，就可以表示為矩陣。因此我們還要說清楚到底什麼是線性變換，什麼是基，什麼叫選定一組基。線性變換的定義是很簡單的，設有一種變換T，使得對於線性空間V中間任何兩個不相同的對象x和y，以及任意實數a和b，有：
T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，
那麼就稱T為線性變換。
定義都是這麼寫的，但是光看定義還得不到直覺的理解。線性變換究竟是一種什麼樣的變換？我們剛才說了，變換是從空間的一個點躍遷到另一個點，而線性變換，就是從一個線性空間V的某一個點躍遷到另一個線性空間W的另一個點的運動。這句話裡蘊含著一層意思，就是說一個點不僅可以變換到同一個線性空間中的另一個點，而且可以變換到另一個線性空間中的另一個點去。不管你怎麼變，只要變換前後都是線性空間中的對象，這個變換就一定是線性變換，也就一定可以用一個非奇異矩陣來描述。而你用一個非奇異矩陣去描述的一個變換，一定是一個線性變換。
