如果有兩張分辨率為32x32的黑白圖片，要計算這兩張圖片的相似度該怎麼辦？
根據這篇文章《數學之美 系列 12 - 余弦定理和新聞的分類》的介紹，我們只需要計算一下兩個1024位(32x32=1024)的向量之間的夾角的余弦即可，結果越接近於1，相似度就越高。
好了，理論基礎有了，下面說怎麼存儲我們的向量。
因為圖片上只有兩種顏色，所以用1位二進制足以表示。那就認為白色的點為0，黑色的點為1。這樣，我們每一張圖片就可以放在32個32位整數裡，每行用一個整數表示，既節省了空間，又降低了操作時的復雜度。
接下來說如何計算。
如果老老實實的按照以下公式進行計算，我們需要取出整數中相應位的值，然後相乘或者分別平方，顯然這種方法很浪費時間。
我們來看看有沒有什麼簡便方法。
因為我們只有0或者1兩種值，所以，分子中的相應位分別相乘，就可以轉化為相應位進行與運算，又因為我們使用了整型存儲，所以計算進一步簡化為兩個整數按位與。
而分母中的按位分別平方然後相加，就可以省掉平方的操作，直接按位相加了。
因此，整個程序的操作過程就可以按照如下步驟進行：
1.將每張圖片按像素存放到一個長度為32的32位整型數組裡面，每個整數存放一行，整數的每位存放一個像素值（0或者1）；
2.計算分子時，將兩個這樣的數組中的整數按照對應的索引分別按位與，然後將計算結果按位相加；
3.計算分母時，將每個數組中的所有整數按位相加，然後開根號，最後相乘；
4.分子除以分母，得出余弦值。
第2、3、4步的代碼如下：
public double GetCosine(int[] e1, int[] e2)
{
int a = 0;//分母1
int b = 0;//分母2
int c = 0;//分子
for (int y = 0; y < 32; ++y)
{
//兩個數組中的整數按位與
int i = e2[y] & e1[y];
//按位加
for (int x = 1; x < 33; ++x)
{
c += (i >> x) & 1;
a += (e2[y] >> x) & 1;
b += (e1[y] >> x) & 1;
}
}
//計算分母
int d = a * b;
return d == 0 ? 0 : c / Math.Sqrt(d);
}
如果看到了這裡，你已經知道了我們該如何計算兩個圖片的相似度，按我的經驗，計算結果超過0.8，就可以認為這兩個圖片一樣了。
如果把這裡的圖片換成驗證碼，而你碰巧已經知道其中一個驗證碼的值，那麼另外一個驗證碼的值你現在也知道了。
