上一章我們簡單介紹了IEEE浮點標准，本次我們主要講解一下浮點運算捨入的問題，以及簡單的介紹浮點數的運算。
之前我們已經提到過，有很多小數是二進制浮點數無法准確表示的，因此就難免會遇到捨入的問題。這一點其實在我們平時的計算當中會經常出現，就比如之前我們提到過的0.3，它就是無法用浮點小數准確表示的。
為此LZ專門寫了一個小程序，使用Java語言打印出了0.3的二進制表示，是這樣的一個數字，0 01111101 00110011001100110011010。我們來簡單算一下，這個數值大約是多少。它的階碼在偏置之後的值為-2，它的尾數位在加1之後為1 + 1/8 + 1/16 + 1/128 + 1/256 = 1.19921875。後面還有有效位，不過我們只大概計算一下，就不算那麼精確了，最終算出來的值為0.2998046875。（LZ用計算器算的，0.0）
可以看出，這個值離0.3已經非常接近了，而且我們還省略了一小部分有效小數位，但是不管怎麼說，二進制無法像十進制小數一樣，准確的表示0.3這個數值。因此捨入這一部分是浮點數無法逃脫的內容。
在我們平時日常使用的十進制當中，我們一般對一個無理數或者有位數限制的有理數進行捨入時，大部分時候會采取四捨五入的方式，這算是一種比較符合我們期望的捨入方式。
不過針對浮點數來說，我們的捨入方式會更豐富一些。一共有四種方式，分別是向偶數捨入、向零捨入、向上捨入以及向下捨入。
這四種捨入方式都不難理解，其中向偶數捨入就是向最靠近的偶數捨入，比如將1.5捨入為2，將0.1捨入為0。而向零捨入則是向靠近零的值捨入，比如將1.5捨入為1，將0.1捨入為0。對於向上捨入來說，則是往大了（也就是向正無窮大）捨入的意思，比如將1.5捨入為2，將-1.5捨入為-1。而向下捨入則與向上捨入相反，是向較小的值（也就是向負無窮大）捨入的意思。
這裡需要提一下的是，除了向偶數捨入以外，其它三種方式都會有明確的邊界。這裡的含義是指這三種方式捨入後的值x'與捨入之前的值x會有一個明確的大小關系，比如對於向上捨入來說，則一定有x <= x'。對於向零捨入來說，則一定有|x| >= |x'|。
對於向偶數捨入來講，它最大的作用是在統計時使用。向偶數捨入可以讓我們在統計時，將捨入產生的誤差平均，從而盡可能的抵消。而其它三種方式在這方面都是有一定缺陷的，向上和向下捨入很明顯，會造成值的偏大或偏小。而對於向零捨入來講，如果全是正數的時候則會造成結果偏小，全是負數的時候則會造成結果偏大。
通常情況下我們采取的捨入規則是在原來的值是捨入值的中間值時，采取向偶數捨入，在二進制中，偶數我們認為是末尾為0的數。而倘若不是這種情況的話，則一般會有選擇性的使用向上和向下捨入，但總是會向最接近的值捨入。其實這正是IEEE采取的默認的捨入方式，因為這種捨入方式總是企圖向最近的值的捨入。
比如對於10.10011這個值來講，當捨入到個位數時，會采取向上捨入，因此此時的值為11。當捨入到小數點後1位時，會采取向下捨入，因此此時的值為10.1。當捨入到小數點後4位時，由於此時為10.10011捨入值的中間值，因此采用向偶數捨入，此時捨入後的值為10.1010。
之前我們講解了一堆捨入的方式，最終我們給出一個結論，就是IEEE標准默認的捨入方式，是企圖向最近的值捨入（Round to the Nearest Value）。
上面我們已經詳細的解釋了IEEE標准中默認的捨入方式（黑色加粗的那部分解釋），但是估計還是會有不少猿友比較迷糊，書中也沒有給出具體的例子，因此這裡LZ以Java語言為例，我們直接寫程序來看一下，看看Java當中的捨入方式是否是按照我們所說的進行的。
在各位看這個測試程序之前，LZ需要再給各位再解釋一下中間值的概念。中間值就是指的，比如1.1（二進制）這個數字，假設要捨入到個位，那麼它就是一個中間值，因為它處於1（二進制）和10（二進制）的中間，在這個時候將會采用向偶數捨入的方式。
下面便是LZ寫的測試程序，其中那些具體的浮點數值是使用二進制小數的算法計算出來的，各位猿友不必在意，如果你不嫌麻煩，也可以自己手算一下。我們主要看的是最終的捨入情況。
public class Main{
public static void main(String[] args){
System.out.println("捨入前: 10.10011111111111111111101");
System.out.print("捨入後:");
printFloatBinaryString(2.62499964237213134765625f);
System.out.println();
System.out.println("捨入前: 10.10011111111111111111111");
System.out.print("捨入後:");
printFloatBinaryString(2.62499988079071044921875f);
System.out.println();
System.out.println("捨入前: 10.10011111111111111111101011");
System.out.print("捨入後:");
printFloatBinaryString(2.62499968707561492919921875f);
System.out.println();
System.out.println("捨入前: 10.10011111111111111111100011");
System.out.print("捨入後:");
printFloatBinaryString(2.62499956786632537841796875f);
System.out.println();
System.out.println("捨入前: -10.10011111111111111111101");
System.out.print("捨入後:");
printFloatBinaryString(-2.62499964237213134765625f);
System.out.println();
System.out.println("捨入前: -10.10011111111111111111111");
System.out.print("捨入後:");
printFloatBinaryString(-2.62499988079071044921875f);
System.out.println();
System.out.println("捨入前: -10.10011111111111111111101011");
System.out.print("捨入後:");
printFloatBinaryString(-2.62499968707561492919921875f);
System.out.println();
System.out.println("捨入前: -10.10011111111111111111100011");
System.out.print("捨入後:");
printFloatBinaryString(-2.62499956786632537841796875f);
System.out.println();
}
public static void printFloatBinaryString(Float f){
char[] binaryChars = getBinaryChars(f);
for (int i = 0; i < binaryChars.length; i++) {
System.out.print(binaryChars[i]);
if (i == 0 || i == 8) {
System.out.print(" ");
}
}
System.out.println();
}
public static char[] getBinaryChars(Float f){
char[] result = new char[32];
char[] binaryChars = Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(f)).toCharArray();
if (binaryChars.length < result.length) {
System.arraycopy(binaryChars, 0, result, result.length - binaryChars.length, binaryChars.length);
for (int i = 0; i < result.length - binaryChars.length; i++) {
result[i] = '0';
}
}else {
result = binaryChars;
}
return result;
}
}
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上面是測試程序，其實程序中看不出什麼，就是一堆輸出語句。如果各位猿友有興趣，也可以簡單看一下程序的實現。不過我們主要還是看結果，下面是程序結果。
上面一共有8次捨入，前4次是正數，後4次是負數。可以看出對於正負數來講，捨入後的位表示是一樣的，只是最高位的符號位不同而已，因此這裡LZ就不再分析下面4個負數的捨入方式了，我們主要來看前4次捨入。
第1次和第2次對於末尾01和11的捨入，由於是中間值，因此全部采取的向偶數捨入的方式，保證最低位為0。第3次由於比中間值大，而數值又是正數，因此采用向上捨入的方式。第4次則比中間值小，數值也同樣是正數，因此采用向下捨入的方式。
由此可以看出，Java正是采用的我們所描述的方式進行捨入操作的，也就是總是企圖朝最近的數值捨入。相對於其它語言，由於LZ主修Java，例子篇幅也比較長，因此這裡就不寫其他語言的例子了，有興趣的猿友可以嘗試寫一下C/C++或者C#的例子來看一下，看是否是采用的同樣的捨入方式。
在IEEE標准中，制定了關於浮點數的運算規則，就是我們將把兩個浮點數運算後的精確結果的捨入值，作為我們最終的運算結果。正是因為有了這一個特殊點，就會造成浮點數當中，很多運算不滿足我們平時熟知的一些運算特性。
比如加法的結合律，也就是a + b + c = a + (b + c)，這是很普通的加法運算的特性，但是浮點數是不滿這一特性的，比如說下面這一段小程序。
public static void main(String[] args){
System.out.println(1f + 10000000000f - 10000000000f);
System.out.println(1f + (10000000000f - 10000000000f));
}
這一段程序會依次輸出0.0和1.0，正是因為捨入而造成的這一誤差。在第一個輸出語句中，計算1f+10000000000f時，會將1這個有效數值捨入掉，而導致最終結果為0.0。而在第二個輸出語句中10000000000f-10000000000f將先得到結果0.0，因此最終的結果為1.0。
相應的，浮點數運算對乘法也不滿足結合律，也就是 a * b * c != a * (b * c)，同時也不滿足分配律，即 a * (b + c) != a * b + a * c。
浮點數失去了很多運算方面的特性，因此也導致很多優化手段無法進行，比如我們試圖優化下面這樣一段程序。
/* 優化前 */
float x = a + b + c;
float y = b + c + d;
/* 優化後 */
float t = b + c;
float x = a + t;
float y = t + d;
對於優化前的代碼來講，進行了4次浮點運算，而優化後則是3次。然而這種優化是編譯器無法進行的，因為可能會引入誤差，比如就像前面的小例子中的結果0和1一樣。編譯器在此時一般是不敢進行優化的，試想一下，如果是銀行系統的匯款或者收款等功能，如果編譯器進行優化的話，很可能一不小心就把別人的錢給優化掉了。
文章小結
2.X系列主要講解了二進制的位表示方式、無符號以及補碼編碼以及二進制整數和浮點數的表示方式和運算。這一章是2.X的最後一章，下一章我們將進入匯編語言3.X的世界，那裡我們可以看到程序是如何使用寄存器和存儲器的、如何表示C語言中的指針、匯編語言如何實現程序的流程控制等等一系列內容。相對來講，3.X的內容會比2.X的內容有意思很多，因此希望各位猿友不要錯過。
作者：zuoxiaolong（左潇龍）
出處：博客園左潇龍的技術博客--http://www.cnblogs.com/zuoxiaolong
