最近流行這樣一道題：一個人有兩個小孩，其中有一個是生於星期二的男孩兒，問另一個是男孩兒的概率是多少？
如果從比較嚴格的角度來看，這道題可能會有一些問題，比如雙胞胎、多胞胎怎麼辦？男女出生比例是精確的1:1嗎？等等。不過如果我們不去糾結這些細節問題，假設兩個小孩不是雙胞胎，男女出生比例為精確的1:1，也沒有其他特殊的情況，那結果會是什麼樣呢？
我剛看到這道題時，第一個反應是答案肯定是50%嘛，兩個孩子的性別是獨立的，不論一個孩子的性別是什麼都不會影響到另一個（不考慮極端或特殊情況），至於題目中的“星期二”……，大概是一個迷惑人用的無用信息吧。但仔細算過之後，我卻得到了另外的結果。
為了方便描述，我們用 “1”, “2”, “3”, “4”, “5”, “6”, “7” 表示周一至周日出生，”b”, “g” 表示那個孩子是男孩還是女孩，比如 “2b” 就表示某個孩子是周二出生並且是男孩，”3g” 則表示某個孩子是周三出生並且是女孩。然後我們窮舉一下周一至周日7天出生的兩個孩子的所有可能性，如：
(“1b”, “1b”), (“1b”, “1g”), (“1b”, “2b”), (“1b”, “2g”) …, (“7b”, “7g”), …, (“7g”, “7g”)
一共有 14 * 14 = 196 種可能。
我們再找出其中包含星期二出生的男孩的項，即包含 “2b” 的項，一共有 27 種，如下：
(“1b”, “2b”), (“1g”, “2b”), (“2b”, “1b”), (“2b”, “1g”), (“2b”, “2b”),
(“2b”, “2g”), (“2b”, “3b”), (“2b”, “3g”), (“2b”, “4b”), (“2b”, “4g”),
(“2b”, “5b”), (“2b”, “5g”), (“2b”, “6b”), (“2b”, “6g”), (“2b”, “7b”),
(“2b”, “7g”), (“2g”, “2b”), (“3b”, “2b”), (“3g”, “2b”), (“4b”, “2b”),
(“4g”, “2b”), (“5b”, “2b”), (“5g”, “2b”), (“6b”, “2b”), (“6g”, “2b”),
(“7b”, “2b”), (“7g”, “2b”)
27種……，慢著，是27種？
27是奇數，不能被2整除，也就意味著另一個孩子也是男孩概率不可能能是50%。
我們來數一下這27種可能裡另一個孩子也是男孩的情況有多少種，結果是13種。
也就是說，已知一個孩子是星期二出生的男孩的情況下，如果不考慮雙胞胎等意外因素，另一個孩子也是男孩的可能性是 13/27 ，小於50%。
上面的推導是很暴力的窮舉，當然不是用手工算的，而是一段Python腳本，如下：
# -*- coding: utf-8 -*-
def main():
days = range(1, 8)
gender = ("b", "g")
c1 = ["%d%s" % (d, g) for d in days for g in gender]
c2 = ["%d%s" % (d, g) for d in days for g in gender]
all = [(i1, i2) for i1 in c1 for i2 in c2]
print u"兩個孩子的出生星期及性別共有 %d 種可能" % len(all)
b2 = [i for i in all if "2b" in i]
print "-" * 50
print u"有一個孩子是星期二出生的男孩的情況："
print b2
print u"共 %d 種情況" % len(b2)
a = [i for i in b2 if "b" in i[0] and "b" in i[1]]
print "-" * 50
print u"另一個孩子也是男孩的情況："
print a
print u"共 %d 種情況" % len(a)
print "-" * 50
print u"最終概率：%d/%d" % (len(a), len(b2))
if __name__ == "__main__":
main()
最後的輸出結果為：
兩個孩子的出生星期及性別共有 196 種可能
--------------------------------------------------
有一個孩子是星期二出生的男孩的情況：
[
('1b', '2b'), ('1g', '2b'), ('2b', '1b'), ('2b', '1g'), ('2b', '2b'),
('2b', '2g'), ('2b', '3b'), ('2b', '3g'), ('2b', '4b'), ('2b', '4g'),
('2b', '5b'), ('2b', '5g'), ('2b', '6b'), ('2b', '6g'), ('2b', '7b'),
('2b', '7g'), ('2g', '2b'), ('3b', '2b'), ('3g', '2b'), ('4b', '2b'),
('4g', '2b'), ('5b', '2b'), ('5g', '2b'), ('6b', '2b'), ('6g', '2b'),
('7b', '2b'), ('7g', '2b')
]
共 27 種情況
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另一個孩子也是男孩的情況：
[
('1b', '2b'), ('2b', '1b'), ('2b', '2b'), ('2b', '3b'), ('2b', '4b'),
('2b', '5b'), ('2b', '6b'), ('2b', '7b'), ('3b', '2b'), ('4b', '2b'),
('5b', '2b'), ('6b', '2b'), ('7b', '2b')
]
共 13 種情況
--------------------------------------------------
最終概率：13/27
看來，題目中的星期二並不是無用條件，而且最後得到的結果似乎會與直覺相悖，但認真檢查了幾遍上面的計算推導過程之後，我覺得事實似乎應該就是如此。
