線性代數（基於python)基於矩陣變換的圖像變化交流

1. 問題：雞兔同籠，10個頭，28只腳，問雞兔各有多少只
2. 解答：列二元一次方程，雞x只，兔有y只

x+y=10
2x+4y=28

3. 線性方程組

在這裡插入代碼片
import numpy as np
A=np.array([[1,1],[2,4]])#將系數所有向量拼在一起
b=np.array([10,28])#常數向量
x=np.linalg.solve(A,b)
print('線性方程組的解為：',x)

D:\why\python.exe D:/opencv-python/xianxingdaishu.py
線性方程組的解為： [6. 4.]

4.問題：後來又引入了公雞和鴨子，之後共14頭，40腳，眼睛28，問雞兔鴨各有幾只
假設鴨z只
方程組：
x+y+z=14
2x+4y+2z=40
2x+2y+2z=28(沒用的）
5、插入：生成向量，向量加法，數乘

import numpy as np
x=np.array([1,2,3])
y=np.array([4,5,6])
print("x={},y={}".format(x,y))
print('x的維度為{}'.format(x.shape))#shape顯示向量的維度，如果是向量默認只有一維，維度顯示為（dim，）
print('x+y={]'.format(x+y))
k=3
print('kx={}'.format(k*x))
print('3x+2y={}'.format(3*x+2*y))

D:\why\python.exe D:/opencv-python/xianxingdaishu.py
x=[1 2 3],y=[4 5 6]
x的維度為(3,)
x+y=[5 7 9]
kx=[3 6 9]
3x+2y=[11 16 21]

判斷一個方程有唯一解：

• n個未知數有n個方程
• 行列式不等於0

6.插入：行列式

import numpy as np
A=np.array([[1,1,1],[2,4,2],[2,2,2]])
A_det=np.linalg.det(A)#計算行列式
print('A的行列式值為',A_det)
B=np.array([[1,1,1,1],[1,2,0,0],[1,0,3,0],[1,0,0,4]])
B_det=np.linalg.det(B)
print('B的行列式值為',B_det)

D:\why\python.exe D:/opencv-python/jj.py
A的行列式值為 0.0
B的行列式值為 -2.0

7、克萊默法則
結論：2階行列式是由2維向量組成的，結果為已這兩個向量為鄰邊的平行四邊形面積

import numpu as np
D=np.array([[2.,1,-5,1],[1,-3,0,-6],[0,2,-1,2],[1,4,-7,6]])
D_det=np.linalg.det(D)
D1=np.array([[8.,1,-5,1],[9,-3,0,-6],[-5,2,-1,2],[0,4,-7,6]])
D1_det=np.linalg.det(D1)
D2=np.array([[2.,8,-5,1],[1,9,0,-6],[0,-5,-1,2],[1,0,-7,6]])
D2_det=np.linalg.det(D2)
D3=np.array([[2.,1,8,1],[1,3,9,-6],[0,2,-15,2],[1,4,0,6]])
D1_det=np.linalg.det(D3)
D4=np.array([[2.,1,-5,8],[1,-3,0,9],[0,2,-1,-5],[1,4,-7,0]])
D4_det=np.linalg.det(D4)
x1=D1_det/D_det
x2=D2_det/D_det
x3=D3_det/D_det
x4=D4_det/D_det
print('克萊姆法則解線性微分方程組的解為\n x1={:.2f},\n x2={:.2f},\n x3={:.2f},\n x4={:.2f}'.format(x1,x2,x3,x4))

8、矩陣

import numpy as np
A=np.array([[1,2],[1,-1]])
B=np.array([[1,2,-3],[-1,1,2]])
print('A規模{}'.format(A.shape))
print('B規模{}'.format(B.shape))
print('AB=\n{}'.format(np.matmul(A,B)))

8.1單位矩陣

import numpy as np
print('B=\n',B,'\n','E=\n',np.eye(3))#3階單位陣
np.matmul(B,np.eye(3))

8.2初等矩陣

import numpy as np
A=np.array([[1,1,1],[2,4,2]])
print('A=\n',A)

8.3交換矩陣的兩行

import numpy as np
A=np.array([[0,1],[1,0]])
np.matmul(P,A）

8.4`逆矩陣

import numpy as np
A=np.array([[1,0,0],[0,2,0],[0,0,3]])
np.matmul(A,A)

import numpy as np
B=np.array([[0,1],[0,-1]])
print(np.linalg.det(B),'行列式為0，奇異陣')#檢查是否奇異
print(np.linalg.pinv(B))
print(np.matul(np,matmul(B,np,linalg.pinv(B)),B))#驗證廣義逆的定義

注意：向量在空間中的位置是絕對的，而其坐標值卻是相對的，坐標的取值依托於所選取的坐標向量（基底）

8.5對角矩陣
並不是所有的矩陣都能相似於對角矩陣

8.6特征值，特征向量，對角化

import numpy as np
A=np.array([[-2,1,1],[0,2,0],[-4,1,3]])
lamb,p=np.linalg.eig(A)
print(lamb)#特征值
print(p)#特征向量
print(np.matmul(np.linalg.inv(p),np.matmul(A,p)))

8.7數值過濾

import numpy as np
res=np.matmul(np.linalg.inv(p),np.matmul(A,p))
res[np.abs(res)<1e-6]=0
print(res)

8.8施密特正交化

import numpy as np
from scipy.linalg import*
A=np.array([[1,2,3],[2,1,3],[3,2,1]])
B=orth(A)#正交化，奇異值分解不是施密特正交化
print(np.matmul(B,np.transpose(B))#輸出單位矩陣
res=np.matmul(B,np.transpose(B)
res[np.abs(res)<1e-6]=0
print(res)

9.項目實戰–基於矩陣變換的圖像變換

import numpy as np
from math import cos,sin,pi
def vec_2d(x0,y0,alpha):
#alpha旋轉的角度，弧度制
origin=np.array([[x0,y0,1]])
Transnp.array([[cos(alpha),-sin(alpha),0],[sin(alpha),cos(alpha),0],[0,0,1]])
res=origin.dot(Trans)
x=#___
y=#————
return (x,y)
#圖像旋轉
def Trans(x0,y0,W,H,alpha):
origin=np.array([x0,y0,1])
res = origin.dot(np.array[[cos(alpha),0],
[-sin(alpha),cos(alpha),0],
[-0.5*W*cos(alpha)+0.5*H*sin(alpha)+0.5*W,
-0.5*W*sin(alpha)-0.5*H*cos(alpha)+
0.5*H,1]])
return (int(res[0,:2][0]),int(res[0,:2][1]))
from skimage import io,data
imgs=data.horse()
io.imshow(img3)
img3.shape
img4=np.zeros((400,400))
for x in range(img3.shape[0]):
for y in range(img3.shape[1]):
x1,y1=Trans(x,y,328,400,pi/2)
img4[x1-355,y1]=img3[x,y]#355只是做了一步平移居中，保證畫面完整性
io.imshow(img4)