Python之枚舉法解數學題

作為初二的學生，數學題總是令我苦惱的問題。尤其是我們這裡的預備班考試（即我們這裡最好的兩所高中提前一年招生，選拔尖子生的考試）將近，我所面對的數學題越發令人頭疼。

這不，麻煩來了：

如圖,在正方形ABCD中，E在射線BC上，連接AE、CE，則DE/AE的最小值為________.

拿到這題，信心慢慢的我從容淡定地設AB:CE為1:x，即AB=k，CE=xk，於是原式（設為y）=[k^2+(xk)^2]^0.5/[k^2+(k+xk)^2]^0.5（這裡的“^”代表乘方）。這不就只要求[k^2+(xk)^2]/[k^2+(k+xk)^2]的最小值嘛！這是一個求代數式最小值的問題。

可是……越看越不對勁。這個代數式是個分式，而我們常接觸的同類型題涉及的都只是整式。憑著我對六本初中數學書的印象，我不禁提出疑問：這真的是初中的內容嗎？書上似乎只字未提吧？

但是，本著埋頭苦干的老黃牛精神，我就在那裡毫無結果地和這道題目耗了幾個小時。最終，我放棄了。

但也許是夢裡來的靈感，第二天早上，我突然想到：何不通過一個Python程序來逐個列舉，從中選擇近似值呢？

於是，第一個程序出來了：

k=1
answer=100
myx=0
for x in range(10):
y=(k**2+(x*k)**2)**0.5/(k**2+(k+x*k)**2)**0.5
if y<answer:
answer=y
myx=x
print(answer,myx)

輸出結果：

0.6324555320336759 1

唉，怎麼越看越不對勁？

最後，我終於發現問題的所在：像這樣遍歷x，它的值都是整數，而事實上最小的y所對應的x不一定是整數。

那好，我們改：

k=1
answer=100
myx=0
for x in range(10000):
x=x/1000
y=(k**2+(x*k)**2)**0.5/(k**2+(k+x*k)**2)**0.5
if y<answer:
answer=y
myx=x
print(answer,myx)

輸出：

0.6180339889095493 0.618

這個總沒有問題了吧？還是有問題。你怎麼能確定x的區間？

這個問題看似很致命，但並非完全不可解。我們可以大致推斷，y的變化趨勢應該是先下降後上升或先上升後下降（這個推理對我來說是本能的，以至於我自己都無法詳細解釋過程，但確實可以推理得到這個結論），而既然是求最小值，那自然是前者。因此，由於x從o.618到1是在增加，所以x一定在0.618或其以下，而這些數顯然我們已經遍歷到了（至少在某個精度上）。接下來，我們所需要的只是提高精度，以此來得到更接近真實值的結果，並憑借它猜測正確答案。

最終，在較高的精度下（程序與前面大致相同，只是加大了遍歷的數值與x縮小的倍數，在此不列出），我們得到結果：

0.6180339887498948 0.618034

我們都知道，黃金分割比的小數點後前65位等於0.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227，這個數的前面幾位和我們遍歷的結果完全吻合。我們有理由相信，答案是黃金分割比(5^0.5-1)/2。於是，我們完美地用Python解決了這個問題。

當然，後來我們老師為我們講解了這題不需要程序的解決方法：設法將式子中未知部分化為x+a/x的形式，這個式子永遠不會小於2a^0.5。這樣，我們就可以求得最值了。