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Dubins Calcul de la courbe ( Approche vectorielle )
Ce qui précède a été fait du point de vue vectoriel Dubins Dérivation de la formule de courbe , Ce blog est basé principalement sur cet article 《Classification of the Dubins set》 Introduction aux relations géométriques dubins Formule de courbe , Il y a une dérivation détaillée pour chaque cas , Par conséquent, seule la formule pour chaque cas est donnée ici. , Tout le monde peut se référer à la thèse pour le processus de dérivation. .
dubins La collection de chemins est { L S L , R S R , R S L , L S R , R L R , L R L } \{LSL, RSR, RSL, LSR, RLR, LRL\} { LSL,RSR,RSL,LSR,RLR,LRL}. L L L Représente le mouvement de l'arc vers la gauche , R R R Représente le mouvement de l'arc tournant à droite , S S S Représente le mouvement en ligne droite .
Réglez le point de départ à s ( x i , y i , α i ) s\left(x_{i}, y_{i}, \alpha_{i}\right) s(xi,yi,αi) ,Le point final est g ( x g , y g , β g ) g\left(x_{g}, y_{g}, \beta_{g}\right) g(xg,yg,βg) , La première transformation de coordonnées traduit le point de départ à l'origine ,Et tourne θ \theta θ Angle, Et la fin tombe x \mathrm{x} x Sur l'axe, Les coordonnées de départ et de fin sont: s ( 0 , 0 , α ) , g ( d , 0 , β ) s(0,0, \alpha), g(d, 0, \beta) s(0,0,α),g(d,0,β) ,Parmi eux:
θ = atan 2 ( y g − y i x g − x i ) m o d { 2 π } D = ( x i − x g ) 2 + ( y i − y g ) 2 d = D / R α = ( α i − θ ) m o d { 2 π } β = ( β g − θ ) m o d { 2 π } (1) \tag{1} \begin{gathered} \theta=\operatorname{atan} 2\left(\frac{y_{g}-y_{i}}{x_{g}-x_{i}}\right) \bmod\{2\pi\} \\ D=\sqrt{\left(x_{i}-x_{g}\right)^{2}+\left(y_{i}-y_{g}\right)^{2}} \\ d=D / R \\ \alpha= \left(\alpha_{i}-\theta\right) \bmod\{2\pi\} \\ \beta= \left(\beta_{g}-\theta\right) \bmod\{2\pi\} \end{gathered} θ=atan2(xg−xiyg−yi)mod{ 2π}D=(xi−xg)2+(yi−yg)2d=D/Rα=(αi−θ)mod{ 2π}β=(βg−θ)mod{ 2π}(1)
Quelques remarques：
Parmi eux θ \theta θ Différence d'angle de cap entre le début et la fin , Tous les angles sont là - haut. [ 0 , 2 π ] [0,2 \pi] [0,2π] Entre.
C'est pour ça. D D D À part ça. R R R Ceci permet de faire chaque rayon de virage minimal R R RTous. 1 , Il est plus pratique de calculer la longueur d'arc à partir de l'angle , La longueur de l'arc est un radian égal à l'angle , Donc ce que j'ai vu plus loin cos ( α ) \cos (\alpha) cos(α) , En fait, c'est omis. R R R .
m o d ( ) mod() mod()C'est une opération modulaire,Par exemple： m o d ( 3 π , 2 π ) = 3 π m o d 2 π = π \bmod(3\pi,2\pi)=3\pi \bmod 2 \pi=\pi mod(3π,2π)=3πmod2π=π.Comme suit: β ( m o d 2 π ) \beta(\bmod 2 \pi) β(mod2π)C'est ce que ça veut dire.,C'est - à - dire: β \beta βC'est exact. 2 π 2\pi 2πPrendre le moule.pythonLa mise en œuvre est simple,Comme suit：
def mod2pi(theta):
"""C'est exact.2piOpérations modulaires """
return theta - 2.0 * math.pi * math.floor(theta / 2.0 / math.pi)
Coordonnées transformées pythonLa mise en œuvre est simple,Comme suit：
# Transformation des coordonnées
dx = g_x-s_x
dy = g_y-s_y
D = math.hypot(dx, dy)
d = D * curvature
theta = mod2pi(math.atan2(dy, dx))
alpha = mod2pi(s_yaw - theta)
beta = mod2pi(g_yaw - theta)
Régler la longueur parcourue par le véhicule sur le cercle de départ comme suit: t t t , La longueur du segment droit est p p p , La longueur de l'arc sur le deuxième cercle est q q q, Longueur totale du chemin L = t + p + q L=t+p+q L=t+p+q.On trouvera ci - après une liste de6 Formule de trajectoire pour chaque cas .
L S L LSL LSL La formule de longueur de piste du chemin est la suivante: :
t l s l = − α + arctan cos β − cos α d + sin α − sin β { m o d 2 π } p l s l = 2 + d 2 − 2 cos ( α − β ) + 2 d ( sin α − sin β ) q l s l = β − arctan cos β − cos α d + sin α − sin β { m o d 2 π } (2) \tag{2} \begin{aligned} &t_{l s l}=-\alpha+\arctan \frac{\cos \beta-\cos \alpha}{d+\sin \alpha-\sin \beta}\{\bmod 2 \pi\} \\ &p_{l s l}=\sqrt{2+d^{2}-2 \cos (\alpha-\beta)+2 d(\sin \alpha-\sin \beta)} \\ &q_{l s l}=\beta-\arctan \frac{\cos \beta-\cos \alpha}{d+\sin \alpha-\sin \beta}\{\bmod 2 \pi\} \end{aligned} tlsl=−α+arctand+sinα−sinβcosβ−cosα{ mod2π}plsl=2+d2−2cos(α−β)+2d(sinα−sinβ)qlsl=β−arctand+sinα−sinβcosβ−cosα{ mod2π}(2)
La longueur totale est égale à :
L l s l = t l s l + p l s l + q l s l = − α + β + p l s l (3) \tag{3} \mathcal{L}_{l s l}=t_{l s l}+p_{l s l}+q_{l s l}=-\alpha+\beta+p_{l s l} Llsl=tlsl+plsl+qlsl=−α+β+plsl(3)
pythonLa réalisation est la suivante：
def left_straight_left(alpha, beta, d):
"""LSLChemin """
sa = math.sin(alpha)
sb = math.sin(beta)
ca = math.cos(alpha)
cb = math.cos(beta)
c_ab = math.cos(alpha - beta)
tmp0 = d + sa - sb
mode = ["L", "S", "L"]
p_squared = 2 + (d * d) - (2 * c_ab) + (2 * d * (sa - sb))
if p_squared < 0:
return None, None, None, mode
tmp1 = math.atan2((cb - ca), tmp0)
t = mod2pi(-alpha + tmp1)
p = math.sqrt(p_squared)
q = mod2pi(beta - tmp1)
return t, p, q, mode
R S R RSR RSR La formule de longueur de piste du chemin est la suivante: :
t r s r = α − arctan cos α − cos β d − sin α + sin β { m o d 2 π } p r s r = 2 + d 2 − 2 cos ( α − β ) + 2 d ( sin β − sin α ) q r s r = − β ( m o d 2 π ) + arctan cos α − cos β d − sin α + sin β { m o d 2 π } (4) \tag{4} \begin{aligned} t_{r s r} &=\alpha-\arctan \frac{\cos \alpha-\cos \beta}{d-\sin \alpha+\sin \beta}\{\bmod 2 \pi\} \\ p_{r s r} &=\sqrt{2+d^{2}-2 \cos (\alpha-\beta)+2 d(\sin \beta-\sin \alpha)} \\ q_{r s r} &=-\beta(\bmod 2 \pi)+\arctan \frac{\cos \alpha-\cos \beta}{d-\sin \alpha+\sin \beta}\{\bmod 2 \pi\} \\ \end{aligned} trsrprsrqrsr=α−arctand−sinα+sinβcosα−cosβ{ mod2π}=2+d2−2cos(α−β)+2d(sinβ−sinα)=−β(mod2π)+arctand−sinα+sinβcosα−cosβ{ mod2π}(4)
La longueur totale est égale à :
L r s r = t r s r + p r s r + q r s r = α − β + p r s r (5) \tag{5} \mathcal{L}_{r s r} =t_{r s r}+p_{r s r}+q_{r s r}=\alpha-\beta+p_{r s r} Lrsr=trsr+prsr+qrsr=α−β+prsr(5)
pythonLa réalisation est la suivante：
def right_straight_right(alpha, beta, d):
"""RSRChemin """
sa = math.sin(alpha)
sb = math.sin(beta)
ca = math.cos(alpha)
cb = math.cos(beta)
c_ab = math.cos(alpha - beta)
tmp0 = d - sa + sb
mode = ["R", "S", "R"]
p_squared = 2 + (d * d) - (2 * c_ab) + (2 * d * (sb - sa))
if p_squared < 0:
return None, None, None, mode
tmp1 = math.atan2((ca - cb), tmp0)
t = mod2pi(alpha - tmp1)
p = math.sqrt(p_squared)
q = mod2pi(-mod2pi(beta) + tmp1)
return t, p, q, mode
R S L RSL RSL La formule de longueur de piste du chemin est la suivante: :
t r s l = α − arctan ( cos α + cos β d − sin α − sin β ) + arctan ( 2 p r s l ) { m o d 2 π } p r s l = d 2 − 2 + 2 cos ( α − β ) − 2 d ( sin α + sin β ) q r s l = β ( m o d 2 π ) − arctan ( cos α + cos β d − sin α − sin β ) + arctan ( 2 p r s l ) { m o d 2 π } (6) \tag{6} \begin{aligned} t_{r s l} &=\alpha-\arctan \left(\frac{\cos \alpha+\cos \beta}{d-\sin \alpha-\sin \beta}\right)+\arctan \left(\frac{2}{p_{r s l}}\right)\{\bmod 2 \pi\} \\ p_{r s l} &=\sqrt{d^{2}-2+2 \cos (\alpha-\beta)-2 d(\sin \alpha+\sin \beta)} \\ q_{r s l} &=\beta(\bmod 2 \pi)-\arctan \left(\frac{\cos \alpha+\cos \beta}{d-\sin \alpha-\sin \beta}\right)+\arctan \left(\frac{2}{p_{r s l}}\right)\{\bmod 2 \pi\} \\ \end{aligned} trslprslqrsl=α−arctan(d−sinα−sinβcosα+cosβ)+arctan(prsl2){ mod2π}=d2−2+2cos(α−β)−2d(sinα+sinβ)=β(mod2π)−arctan(d−sinα−sinβcosα+cosβ)+arctan(prsl2){ mod2π}(6)
La longueur totale est égale à :
L r s l = t r s l + p r s l + q r s l = − α + β + 2 t r s l + p r s l (7) \tag{7} \mathcal{L}_{r s l} =t_{r s l}+p_{r s l}+q_{r s l}=-\alpha+\beta+2 t_{r s l}+p_{r s l} Lrsl=trsl+prsl+qrsl=−α+β+2trsl+prsl(7)
pythonLa réalisation est la suivante：
def right_straight_left(alpha, beta, d):
"""RSLChemin """
sa = math.sin(alpha)
sb = math.sin(beta)
ca = math.cos(alpha)
cb = math.cos(beta)
c_ab = math.cos(alpha - beta)
p_squared = (d * d) - 2 + (2 * c_ab) - (2 * d * (sa + sb))
mode = ["R", "S", "L"]
if p_squared < 0:
return None, None, None, mode
p = math.sqrt(p_squared)
tmp2 = math.atan2((ca + cb), (d - sa - sb)) - math.atan2(2.0, p)
t = mod2pi(alpha - tmp2)
q = mod2pi(mod2pi(beta) - tmp2)
return t, p, q, mode
L S R LSR LSR La formule de longueur de piste du chemin est la suivante: :
t l s r = ( − α + arctan ( − cos α − cos β d + sin α + sin β ) − arctan ( − 2 p l s r ) ) { m o d 2 π } p l s r = − 2 + d 2 + 2 cos ( α − β ) + 2 d ( sin α + sin β ) q l s r = − β ( m o d 2 π ) + arctan ( − cos α − cos β d + sin α + sin β ) − arctan ( − 2 p l s r ) { m o d 2 π } (8) \tag{8} \begin{aligned} t_{l s r} &=\left(-\alpha+\arctan \left(\frac{-\cos \alpha-\cos \beta}{d+\sin \alpha+\sin \beta}\right)-\arctan \left(\frac{-2}{p_{l s r}}\right)\right)\{\bmod 2 \pi\} \\ p_{l s r} &=\sqrt{-2+d^{2}+2 \cos (\alpha-\beta)+2 d(\sin \alpha+\sin \beta)} \\ q_{l s r} &=-\beta(\bmod 2 \pi)+\arctan \left(\frac{-\cos \alpha-\cos \beta}{d+\sin \alpha+\sin \beta}\right)-\arctan \left(\frac{-2}{p_{l s r}}\right)\{\bmod 2 \pi\} \\ \end{aligned} tlsrplsrqlsr=(−α+arctan(d+sinα+sinβ−cosα−cosβ)−arctan(plsr−2)){ mod2π}=−2+d2+2cos(α−β)+2d(sinα+sinβ)=−β(mod2π)+arctan(d+sinα+sinβ−cosα−cosβ)−arctan(plsr−2){ mod2π}(8)
La longueur totale est égale à :
L l s r = t l s r + p l s r + q l s r = α − β + 2 t l s r + p l s r (9) \tag{9} \mathcal{L}_{l s r} =t_{l s r}+p_{l s r}+q_{l s r}=\alpha-\beta+2 t_{l s r}+p_{l s r} Llsr=tlsr+plsr+qlsr=α−β+2tlsr+plsr(9)
pythonLa réalisation est la suivante：
def left_straight_right(alpha, beta, d):
"""LSRChemin """
sa = math.sin(alpha)
sb = math.sin(beta)
ca = math.cos(alpha)
cb = math.cos(beta)
c_ab = math.cos(alpha - beta)
p_squared = -2 + (d * d) + (2 * c_ab) + (2 * d * (sa + sb))
mode = ["L", "S", "R"]
if p_squared < 0:
return None, None, None, mode
p = math.sqrt(p_squared)
tmp2 = math.atan2((-ca - cb), (d + sa + sb)) - math.atan2(-2.0, p)
t = mod2pi(-alpha + tmp2)
q = mod2pi(-mod2pi(beta) + tmp2)
return t, p, q, mode
R L R RLR RLR La formule de longueur de piste du chemin est la suivante: :
t r l r = α − arctan ( cos α − cos β d − sin α + sin β ) + p r l r 2 { m o d 2 π } p r l r = arccos 1 8 ( 6 − d 2 + 2 cos ( α − β ) + 2 d ( sin α − sin β ) ) q r l r = α − β − t r l r + p r l r { m o d 2 π } (10) \tag{10} \begin{aligned} &t_{r l r}=\alpha-\arctan \left(\frac{\cos \alpha-\cos \beta}{d-\sin \alpha+\sin \beta}\right)+\frac{p_{r l r}}{2}\{\bmod 2 \pi\} \\ &p_{r l r}=\arccos \frac{1}{8}\left(6-d^{2}+2 \cos (\alpha-\beta)+2 d(\sin \alpha-\sin \beta)\right) \\ &q_{r l r}=\alpha-\beta-t_{r l r}+p_{r l r}\{\bmod 2 \pi\} \\ \end{aligned} trlr=α−arctan(d−sinα+sinβcosα−cosβ)+2prlr{ mod2π}prlr=arccos81(6−d2+2cos(α−β)+2d(sinα−sinβ))qrlr=α−β−trlr+prlr{ mod2π}(10)
La longueur totale est égale à :
L r l r = t r l r + p r l r + q r l r = α − β + 2 p r l r (11) \tag{11} \mathcal{L}_{r l r}=t_{r l r}+p_{r l r}+q_{r l r}=\alpha-\beta+2 p_{r l r} Lrlr=trlr+prlr+qrlr=α−β+2prlr(11)
pythonLa réalisation est la suivante：
def right_left_right(alpha, beta, d):
"""RLRChemin """
sa = math.sin(alpha)
sb = math.sin(beta)
ca = math.cos(alpha)
cb = math.cos(beta)
c_ab = math.cos(alpha - beta)
mode = ["R", "L", "R"]
tmp_rlr = (6.0 - d * d + 2.0 * c_ab + 2.0 * d * (sa - sb)) / 8.0
if abs(tmp_rlr) > 1.0:
return None, None, None, mode
p = mod2pi(math.acos(tmp_rlr))
t = mod2pi(alpha - math.atan2(ca - cb, d - sa + sb) + mod2pi(p / 2.0))
q = mod2pi(alpha - beta - t + p)
return t, p, q, mode
Les méthodes de mise en œuvre ci - dessus n'obtiennent pas de résultats optimaux ,C'est étrange, L'écriture suivante donne les meilleurs résultats ：
def right_left_right(alpha, beta, d):
"""RLRChemin, La mise en œuvre de cette partie n'est pas conforme à la formule , Il n'y a pas de chemin optimal après avoir été modifié pour être conforme à la formule """
sa = math.sin(alpha)
sb = math.sin(beta)
ca = math.cos(alpha)
cb = math.cos(beta)
c_ab = math.cos(alpha - beta)
mode = ["R", "L", "R"]
tmp_rlr = (6.0 - d * d + 2.0 * c_ab + 2.0 * d * (sa - sb)) / 8.0
if abs(tmp_rlr) > 1.0:
return None, None, None, mode
p = mod2pi(2 * math.pi - math.acos(tmp_rlr))
t = mod2pi(alpha - math.atan2(ca - cb, d - sa + sb) + mod2pi(p / 2.0))
q = mod2pi(alpha - beta - t + mod2pi(p))
return t, p, q, mode
L R L LRL LRL La formule de longueur de piste du chemin est la suivante: :
t l r l = ( − α + arctan ( − cos α + cos α d + sin α − sin β ) + p l r l 2 ) { m o d 2 π } p l r l = arccos 1 8 ( 6 − d 2 + 2 cos ( α − β ) + 2 d ( sin α − sin β ) ) { m o d 2 π } q l r l = β ( m o d 2 π ) − α + 2 p l r l { m o d 2 π } (12) \tag{12} \begin{aligned} &t_{l r l}=\left(-\alpha+\arctan \left(\frac{-\cos \alpha+\cos \alpha}{d+\sin \alpha-\sin \beta}\right)+\frac{p_{l r l}}{2}\right)\{\bmod 2 \pi\} \\ &p_{l r l}=\arccos \frac{1}{8}\left(6-d^{2}+2 \cos (\alpha-\beta)+2 d(\sin \alpha-\sin \beta)\right)\{\bmod 2 \pi\} \\ &q_{l r l}=\beta(\bmod 2 \pi)-\alpha+2 p_{l r l}\{\bmod 2 \pi\} \end{aligned} tlrl=(−α+arctan(d+sinα−sinβ−cosα+cosα)+2plrl){ mod2π}plrl=arccos81(6−d2+2cos(α−β)+2d(sinα−sinβ)){ mod2π}qlrl=β(mod2π)−α+2plrl{ mod2π}(12)
La longueur totale est égale à :
L l r l = t l r l + p l r l + q l r l = − α + β + 2 p l r l . (13) \tag{13} \mathcal{L}_{l r l}=t_{l r l}+p_{l r l}+q_{l r l}=-\alpha+\beta+2 p_{l r l} . Llrl=tlrl+plrl+qlrl=−α+β+2plrl.(13)
pythonLa réalisation est la suivante：
def left_right_left(alpha, beta, d):
"""LRLChemin """
sa = math.sin(alpha)
sb = math.sin(beta)
ca = math.cos(alpha)
cb = math.cos(beta)
c_ab = math.cos(alpha - beta)
mode = ["L", "R", "L"]
tmp_lrl = (6.0 - d * d + 2.0 * c_ab + 2.0 * d * (- sa + sb)) / 8.0
if abs(tmp_lrl) > 1:
return None, None, None, mode
p = mod2pi(math.acos(tmp_lrl))
t = mod2pi(-alpha - math.atan2(ca - cb, d + sa - sb) + p / 2.0)
q = mod2pi(mod2pi(beta) - alpha +2*p)
return t, p, q, mode
De même, les méthodes de mise en œuvre ci - dessus n'obtiennent pas de résultats optimaux. , L'écriture suivante donne les meilleurs résultats ：
def left_right_left(alpha, beta, d):
"""LRLChemin, La mise en œuvre de cette partie n'est pas conforme à la formule , Il n'y a pas de chemin optimal après avoir été modifié pour être conforme à la formule """
sa = math.sin(alpha)
sb = math.sin(beta)
ca = math.cos(alpha)
cb = math.cos(beta)
c_ab = math.cos(alpha - beta)
mode = ["L", "R", "L"]
tmp_lrl = (6.0 - d * d + 2.0 * c_ab + 2.0 * d * (- sa + sb)) / 8.0
if abs(tmp_lrl) > 1:
return None, None, None, mode
p = mod2pi(2 * math.pi - math.acos(tmp_lrl))
t = mod2pi(-alpha - math.atan2(ca - cb, d + sa - sb) + p / 2.0)
q = mod2pi(mod2pi(beta) - alpha - t + mod2pi(p))
return t, p, q, mode
Voir le code complet ci - dessus githubEntrepôt
Cloud Computing Development: detailed explanation of python3 trigonometric function asin() method
describe Python3 asin() return
Python matplotlib. pyplot. An example of hist() histogram drawing method
Catalog One 、matplotlib.pyplo
