一.求兩直線交點
代碼如下：
class Point {
double x;
double y;
public Point() {
this.x = 0;
this.y = 0;
}
}
class Line {
Point a;
Point b;
public Line() {
this.a = new Point();
this.b = new Point();
}
//求兩直線的交點，斜率相同的話res=u.a
Point intersection(Line u,Line v){
Point res = u.a;
double t = ((u.a.x-v.a.x)*(v.b.y-v.a.y)-(u.a.y-v.a.y)*(v.b.x-v.a.x))
/((u.a.x-u.b.x)*(v.b.y-v.a.y)-(u.a.y-u.b.y)*(v.b.x-v.a.x));
res.x += (u.b.x-u.a.x)*t;
res.y += (u.b.y-u.a.y)*t;
return res;
}
二.求三角形外心
1. 垂心: 三角形三條邊上的高相交於一點.這一點叫做三角形的垂心.
2. 重心: 三角形三條邊上的中線交於一點.這一點叫做三角形的重心.
3. 外心: 三角形三邊的中垂線交於一點.這一點為三角形外接圓的圓心.
4. 內心三角形三內角平分線交於一點.這一點為三角形內切圓的圓心.
已知圓的3點，先求出3邊長,由海倫公式得出面積S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) p=(a+b+c)/2;由三角形面積公式S=1/2*a*b*sin(C)和正弦定理a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=直徑(根據相同弦長對應的圓周角相同可證正弦定理)可得直徑=a*b*c/2/S。
求圓心坐標。利用：G是⊿ABC外心的充要條件是(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0.
這個性質的證明很容易的，只需要想到外心是中垂線交點即可，就可以證明這個性質了，利用向量可以避免求斜率，以及考慮斜率不存在等很多情況。
代碼如下：
//三角形外接圓圓心(外心)
Point center(Point a,Point b,Point c) {
//加上這個才沒有編譯器提示未初始化，因為new所以也寫了構造方法
Line u = new Line(),v = new Line();
u.a.x=(a.x+b.x)/2;
u.a.y=(a.y+b.y)/2;
u.b.x=u.a.x+(u.a.y-a.y);
u.b.y=u.a.y-(u.a.x-a.x);
v.a.x=(a.x+c.x)/2;
v.a.y=(a.y+c.y)/2;
v.b.x=v.a.x+(v.a.y-a.y);
v.b.y=v.a.y-(v.a.x-a.x);
return intersection(u,v);
}
三.求三角形內心
由於內心到各邊距離就是半徑r，可以把三角形分成三部分，再根據海倫公式得到半徑r=2*S/(a+b+c)。
內切圓心坐標(x,y): 三角形三個頂點的坐標:A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)則圓心為x=(x1*BC+x2*CA+x3*AB)/(AB+BC+CA)、y=(y1*BC+y2*CA+y3*AB)/(AB+BC+CA)。
證明：內心是角平分線的交點，到三邊距離相等.
設:在三角形ABC中,三頂點的坐標為：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) BC=a,CA=b,AB=c，內心為M （X，Y）則有aMA+bMB+cMC=0（三個向量） ，MA=（X1-X，Y1-Y） ，MB=(X2-X,Y2-Y) ，MC=(X3-X,Y3-Y)
則：a(X1-X)+b(X2-X)+c(X3-X)=0，a(Y1-Y)+b(Y2-Y)+c(Y3-Y)=0
∴X=（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c)，Y=（aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)
∴M（（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c)，（aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)）。
已知O為三角形ABC的內心,a,b,c分別是A.B.C邊所對邊長. 則aOA+bOB+cOC=0(OA,OB,OC均指向量)
證明：設三角形ABC，AD為BC邊上的角平分線，內心為O。
|BC|=a，|AC|=b，|AB|=c
aOA+bOB+cOC
=aOA+b(AB+OA)+c(AC+OA)
=(a+b+c)OA+b(DB-DA)+c(DC-DA)
設BC的方向向量e,則DB=e|DB|,DC=-e|DC|
又由角平分線定理，|DB|/|DC|=c/b，所以bDB+cDC=0
(a+b+c)OA+b(DB-DA)+c(DC-DA)= (a+b+c)OA- b DA- c DA =aOA+(b+c)OD
又因為OA、OD反向，用角平分線定理和合比定理：
b/CD=c/BD=(b+c)/(CD+BD)=(b+c)/a, b/CD=OA/OD,
所以OA/OD=(b+c)/a , 又因為OA、OD反向，
故aOA+bOB+cOC=aOA+(b+c)OD =0.
