違反直覺的事實
計算機之所以叫"計算"機就是因為發明它主要是用來計算的，"計算"當然是它的特長，在大家的印象中，計算一定是非常准確的。但實際上，即使在一些非常基本的小數運算中，計算的結果也是不精確的。
比如：
float f = 0.1f*0.1f; System.out.println(f);
這個結果看上去，不言而喻，應該是0.01，但實際上，屏幕輸出卻是0.010000001，後面多了個1。
看上去這麼簡單的運算，計算機怎麼會出錯了呢？
簡要答案
實際上，不是運算本身會出錯，而是計算機根本就不能精確的表示很多數，比如0.1這個數。
計算機是用一種二進制格式存儲小數的，這個二進制格式不能精確表示0.1，它只能表示一個非常接近0.1但又不等於0.1的一個數。
數字都不能精確表示，在不精確數字上的運算結果不精確也就不足為奇了。
0.1怎麼會不能精確表示呢？在十進制的世界裡是可以的，但在二進制的世界裡不行。在說二進制之前，我們先來看下熟悉的十進制。
實際上，十進制也只能表示那些可以表述為10的多少次方和的數，比如12.345，實際上表示的：1*10+2*1+3*0.1+4*0.01+5*0.001，與整數的表示類似，小數點後面的每個位置也都有一個位權，從左到右，依次為 0.1,0.01,0.001,...即10^(-1), 10^(-2), 10^(-3)。
很多數，十進制也是不能精確表示的，比如1/3, 保留三位小數的話，十進制表示是0.333，但無論後面保留多少位小數，都是不精確的，用0.333進行運算，比如乘以3，期望結果是1，但實際上卻是0.999。
二進制是類似的，但二進制只能表示哪些可以表述為2的多少次方和的數，來看下2的次方的一些例子：
2的次方 十進制 2^(-1) 0.5 2^(-2) 0.25 2^(-3) 0.125 2^(-4) 0.0625可以精確表示為2的某次方之和的數可以精確表示，其他數則不能精確表示。
為什麼一定要用二進制呢？
為什麼就不能用我們熟悉的十進制呢？在最最底層，計算機使用的電子元器件只能表示兩個狀態，通常是低壓和高壓，對應0和1，使用二進制容易基於這些電子器件構建硬件設備和進行運算。如果非要使用十進制，則這些硬件就會復雜很多，並且效率低下。
有什麼有的小數計算是准確的
如果你編寫程序進行試驗，你會發現有的計算結果是准確的。比如，我用Java寫：
System.out.println(0.1f+0.1f); System.out.println(0.1f*0.1f);
第一行輸出0.2，第二行輸出0.010000001。按照上面的說法，第一行的結果應該也不對啊？
其實，這只是Java語言給我們造成的假象，計算結果其實也是不精確的，但是由於結果和0.2足夠接近，在輸出的時候，Java選擇了輸出0.2這個看上去非常精簡的數字，而不是一個中間有很多0的小數。
在誤差足夠小的時候，結果看上去是精確的，但不精確其實才是常態。
怎麼處理計算不精確
計算不精確，怎麼辦呢？大部分情況下，我們不需要那麼高的精度，可以四捨五入，或者在輸出的時候只保留固定個數的小數位。
如果真的需要比較高的精度，一種方法是將小數轉化為整數進行運算，運算結束後再轉化為小數，另外的方法一般是使用十進制的數據類型，這個沒有統一的規范，在Java中是BigDecimal，運算更准確，但效率比較低，本節就不詳細說了。
二進制表示
我們之前一直在用"小數"這個詞表示float和double類型，其實，這是不嚴謹的，"小數"是在數學中用的詞，在計算機中，我們一般說的是"浮點數"。float和double被稱為浮點數據類型，小數運算被稱為浮點運算。
為什麼要叫浮點數呢？這是由於小數的二進制表示中，表示那個小數點的時候，點不是固定的，而是浮動的。
我們還是用10進制類比，10進制有科學表示法，比如123.45這個數，直接這麼寫，就是固定表示法，如果用科學表示法，在小數點前只保留一位數字，可以寫為1.2345E2即1.2345*(10^2)，即在科學表示法中，小數點向左浮動了兩位。
二進制中為表示小數，也采用類似的科學表示法，形如 m*(2^e)。m稱為尾數，e稱為指數。指數可以為真，也可以為負，負的指數表示哪些接近0的比較小的數。在二進制中，單獨表示尾數部分和指數部分，另外還有一個符號位表示正負。
幾乎所有的硬件和編程語言表示小數的二進制格式都是一樣的，這種格式是一個標准，叫做IEEE 754標准，它定義了兩種格式，一種是32位的，對應於Java的float，另一種是64位的，對應於Java的double。
32位格式中，1位表示符號，23位表示尾數，8位表示指數。64位格式中，1位表示符號，52位表示尾數，11位表示指數。
在兩種格式中，除了表示正常的數，標准還規定了一些特殊的二進制形式表示一些特殊的值，比如負無窮，正無窮，0，NaN (非數值，比如0乘以無窮大)。
IEEE 754標准有一些復雜的細節，初次看上去難以理解，對於日常應用也不常用，本文就不介紹了。
如果你想查看浮點數的具體二進制形式，在Java中，可以使用如下代碼：
Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(value)) Long.toBinaryString(Double.doubleToLongBits(value));
小結
小數計算為什麼會出錯呢？理由就是：很多小數計算機中不能精確表示。
計算機的基本思維是二進制的，所以，意料之外，情理之中!
上節我們說了整數的二進制，本節談了小數。
那字符和文本呢？編碼是怎麼回事？亂碼又是什麼原因？
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