概述
傳統的集合運算 （並，差，交，笛卡爾積）
專門的關系運算
R和S
具有相同的目n（即兩個關系都有n個屬性）
相應的屬性取自同一個域
R∪S
仍為n目關系，由屬於R或屬於S的元組組成
R∪S = { t|t ? R∨t ?S }
R和S
具有相同的目n
相應的屬性取自同一個域
R - S
仍為n目關系，由屬於R而不屬於S的所有元組組成
R -S = { t|t?R∧t?S }
R和S
具有相同的目n
相應的屬性取自同一個域
R∩S
仍為n目關系，由既屬於R又屬於S的元組組成
R∩S = { t|t ? R∧t ?S }
R∩S = R –(R-S）
R: n目關系，k1個元組
S: m目關系，k2個元組
R×S
列：（n+m）列元組的集合
元組的前n列是關系R的一個元組
後m列是關系S的一個元組
行：k1×k2個元組
R×S = {tr ts |tr ?R ∧ ts?S }
先引入幾個記號
（1） R，t?R，t[Ai]
設關系模式為R(A1，A2，…，An)
它的一個關系設為R
t?R表示t是R的一個元組
t[Ai]則表示元組t中相應於屬性Ai的一個分量 （2） A，t[A]， A
若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1，A2，…，An中的一部分，則A稱為屬性列或屬性組。
t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元組t在屬性列A上諸分量的集合。
A則表示{A1，A2，…，An}中去掉{Ai1，Ai2，…，Aik}後剩余的屬性組。
（3） tr ts
R為n目關系，S為m目關系。
tr ?R，ts?S， tr ts稱為元組的連接。
tr ts是一個n + m列的元組，前n個分量為R中的一個n元組，後m個分量為S中的一個m元組。
（4）象集Zx
給定一個關系R（X，Z），X和Z為屬性組。
當t[X]=x時，x在R中的象集（Images Set）為：
Zx={t[Z]|t ?R，t[X]=x}
它表示R中屬性組X上值為x的諸元組在Z上分量的集合
1）連接也稱為θ連接
2）連接運算的含義
從兩個關系的笛卡爾積中選取屬性間滿足一定條件的元組
R S = { | tr ? R∧ts ?S∧tr[A]θts[B] }
A和B：分別為R和S上度數相等且可比的屬性組
θ：比較運算符
連接運算從R和S的廣義笛卡爾積R×S中選取（R關系）在A屬性組上的值與（S關系）在B屬性組上值滿足比較關系θ的元組
3）兩類常用連接運算
等值連接（equijoin）
什麼是等值連接
θ為“＝”的連接運算稱為等值連接
等值連接的含義
從關系R與S的廣義笛卡爾積中選取A、B屬性值相等的那些元組，即等值連接為：
R S = { | tr ?R∧ts ?S∧tr[A] = ts[B] }
自然連接（Natural join）
自然連接是一種特殊的等值連接
兩個關系中進行比較的分量必須是相同的屬性組（同名同域:必須具有相同的屬性名，並且出自相同的域集）
在結果中把重復的屬性列去掉
自然連接的含義
R和S具有相同的屬性組B
R S = { | tr ?R∧ts ?S∧tr[B] = ts[B] }
一般的連接操作是從行的角度進行運算。
自然連接還需要取消重復列，所以是同時從行和列的角度進行運算。
外連接
在做自然連接時，如果把捨棄的元組也保存在結果關系中，而在其他屬性上填空值(Null)，這種連接就叫做外連接（OUTER JOIN）。
左外連接
在做自然連接時，如果只把左邊關系R中要捨棄的元組保留就叫做左外連接(LEFT OUTER JOIN或LEFT JOIN)
右外連接
在做自然連接時，如果只把右邊關系S中要捨棄的元組保留就叫做右外連接(RIGHT OUTER JOIN或RIGHT JOIN)。
給定關系R (X，Y) 和S (Y，Z)，其中X，Y，Z為屬性組。
R中的Y與S中的Y可以有不同的屬性名，但必須出自相同的域集。
R與S的除運算得到一個新的關系P(X)，
P是R中滿足下列條件的元組在 X 屬性列上的投影：
元組在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，記作：
R÷S = {tr [X] | tr ? R∧πY (S) ? Yx }
Yx：x在R中的象集，x = tr[X]
在關系R中，A可以取四個值{a1，a2，a3，a4}
a1的象集為 {(b1，c2)，(b2，c3)，(b2，c1)}
a2的象集為 {(b3，c7)，(b2，c3)}
a3的象集為 {(b4，c6)}
a4的象集為 {(b6，c6)}
S在(B，C)上的投影為
{(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c3) }
只有a1的象集包含了S在(B，C)屬性組上的投影
所以 R÷S ={a1}
